2023年江苏省南京重点大学附中特长生数学试卷（含解析）

2023年江苏省南京重点大学附中特长生数学试卷一、解答题：本题共13小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1.(本小题8分)若x=1 5+2，则x3+4x2+2x+6= _ 2.(本小题8分)方程| x1+1|+| x11|=1x1的解为_ 3.(本小题8分)5张卡片上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为_ 4.(本小题8分)如图，ABC中，D，E在BC上，AD=AE，BAE=ACB，若AC=6，CD=4，则BD= _ 5.(本小题8分)已知质数x，y，z满足xyz=7(x+y+z)，则x2+y2+z2= _ 6.(本小题8分)已知方程x2(k2+2k+6)x+(2k2+4k+8)=0(k为常数)(1)求证：该方程恒有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实根为x1，x2，求|x1x2|的最小值7.(本小题8分)因式分解：(1)a3bab3+a2+b2+1；(2)9a24b2+4bcc28.(本小题8分)如图，ABC的外心为O，垂心为H，D为BC的中点.求证：AH=2OD9.(本小题8分)已知a+b+c=2023，ax2yz=by2xz=cz2xy,x+y+z0，求ax+by+czx+y+z的值10.(本小题8分)已知方程ax2+2(a+3)x+(a+2)=0有正根，求a的取值范围11.(本小题8分)如图，O内切于半径为3，圆心角为60°的扇形中，E与O外切，与扇形内切，求E的半径12.(本小题8分)已知n，k均为正整数，且对于每一个确定的n，满足不等式59<nn+k<47的k仅有一个，求n的最大值与最小值13.(本小题8分)已知整数a，b，c满足a<0<b<c，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求a+bc所有可能的值答案和解析1.【答案】3 5 【解析】解：x=1 5+2= 52( 5+2)( 52)= 52，x+2= 5，x3+4x2+2x+6=x3+4x2+4x2x+6=x(x2+4x+4)2x+6=x(x+2)22x+6=x( 5)22x+6=5x2x+6=3x+6=3( 52)+6=3 56+6=3 5，故答案为：3 5先利用分母有理化进行化简，从而可得x= 52，进而可得x+2= 5，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键2.【答案】x=32 【解析】解：当1<x2时，0< x11，原方程化为： x1+1+1 x1=1x1，即1x1=2，解得x=32，经检验，x=32是方程的解，当x>2时， x1>1，原方程化为： x1+1+ x11=1x1，即1x1=2 x1，方程无解，所以原方程的解为x=32故答案为：x=32分两种情况讨论即可本题考查了无理方程和分式方程，解题的关键是分情况讨论去绝对值3.【答案】310 【解析】解：由题意可知，任意抽取3张所有等可能的结果有：(1,1,2)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,2,3)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,2,3)，(2,2,3)，共10种，其中这3个数字可以作为三角形三边的边长的结果有：(1,2,2)，(1,2,2)，(2,2,3)，共3种，这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为310故答案为：310由题意可知，共有10种等可能的结果，其中这3个数字可以作为三角形三边的边长的结果有3种，再利用概率公式可得出答案本题考查概率公式、三角形三边关系，熟练掌握列表法与树状图法以及三角形三边关系是解答本题的关键4.【答案】5 【解析】解：BAE=C，AEB=C+EAC，BAC=BAE+EAC，AEB=BAC，AD=AE，ADC=AEB=BAC，又C=C，ACDABC，AC：CD=AB：AD=BC：AC，AC=6，CD=4，BC=9，BD=BCCD=5故答案为：5根据三角形外角的性质得出BAC=AED，再根据等腰三角形的性质得出ADE=AED，最后根据三角形相似求出BC的长，即可得到BD的长本题主要考查了相似三角形的判定与性质，题目较为简单，找出与已知线段有关的相似三角形是本题解题的关键5.【答案】83 【解析】解：xyz=7(x+y+z)，x，y，z是质数；x=7或y=7或z=7；当x=7时，yz=7+y+z，y，z是质数，y=3，z=5或y=5，z=3；此时x2+y2+z2=72+32+52=83或x2+y2+z2=72+52+32=83；同理当y=7时，x=3，z=5或x=5，z=3，此时x2+y2+z2=83；当z=7时，x=3，y=5或x=5，y=3，此时x2+y2+z2=83；综上所述，x2+y2+z2=83；故答案为：83由xyz=7(x+y+z)，x，y，z是质数；可得x=7或y=7或z=7；当x=7时，yz=7+y+z，可得y=3，z=5或y=5，z=3；故x2+y2+z2=83；同理当y=7时或z=7时，也可得x2+y2+z2=83本题考查质数与合数，解题的关键是掌握质数的概念，根据已知求出x，y，z的值6.【答案】(1)证明：原方程可化为：(x2)x(k2+2k+4)=0，原方程的两根为2和k2+2k+4，又k2+2k+4=(k+1)2+3>2，该方程恒有两个不相等的实数根；(2)解：x1+x2=k2+2k+6,x1x2=2k2+4k+8，|x1x2|= (x1+x2)24x1x2= (k2+2k+6)24(2k2+4k+8)=(k+1)2+11，所以|x1x2|的最小值为1 【解析】(1)只要证明>0即可(2)利用根与系数的关系求解即可本题考查的是一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型7.【答案】解：(1)原式=a3bab3+a2+b2+1+abab =(a3bab3)+(a2ab)+(ab+b2+1) =ab(a2b2)+(a2ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(ab)+(a2ab)+(ab+b2+1) =b(a+b)a(ab)+(a2ab)+(ab+b2+1) =(ab+b2)(a2ab)+(a2ab)+(ab+b2+1) =(ab+b2+1)(a2ab)+(ab+b2+1) =(ab+b2+1)(a2ab+1)；(2)原式=9a2(4b24bc+c2) =9a2(2bc)2 =3a+(2bc)3a(2bc) =(3a+2bc)(3a2b+c) 【解析】利用分组分解法因式分解即可本题考查分组分解法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键8.【答案】证明：过点B作圆O的直径BE，连接AE，CE，CH.如图， H为ABC的垂心，AHBC，BE为圆O的直径，CEBC，AH/CE，同理AE/CH，四边形AHCE是平行四边形，AH=CE又D为BC的中点，O为BE的中点，CE=2ODAH=2OD 【解析】过点B作圆O的直径BE，连接AE，CE，CH根据垂心的定义以及圆周角定理可得AH/CE，AE/CH，从而得到四边形AHCE是平行四边形，进而得到AH=CE，再根据三角形中位线定理可得CE=2OD，即可求证本题主要考查了三角形的五心，垂心的定义以及圆周角定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解答本题的关键9.【答案】解：由题意，设ax2yz=by2xz=cz2xy=k，a=k(x2yz)，b=k(y2xz)，c=k(z2xy)原式=kx(x2yz)+ky(y2xz)+kz(z2xy)x+y+z =k(x3+y3+z33xyz)x+y+z =k(x+y)3+z33xy(x+y)3xyzx+y+z =k(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzxz)x+y+z =k(x2yz)+k(y2xz)+k(z2xy) =a+b+c =2023 【解析】依据题意，设ax2yz=by2xz=cz2xy=k，从而a=k(x2yz)，b=k(y2xz)，c=k(z2xy)，再代入式子ax+by+czx+y+z中进行计算可以得解本题主要考查了分式的求值，解题时要熟练掌握并能理解公式变形是关键10.【答案】解：当a=0时，方程简化为：6x+2=0，x=13，这与方程有正根矛盾，a0，原方程是关于x的一元二次方程，方程有根，=4(a+3)24a(a+2)=16a+360，a94，设方程两根为x1、x2当两根都为正时，x1x2=a+2a>0，即a+2>0a>0或a+2<0a<0，解得a>0或a<2(舍去)，结合根的判别式得a94，当两根一正一负时，x1x2=a+2a<0，即a+2>0a<0或a+2<0a>0，解得2<a<0或无解，综合分析a的取值范围为：a94 【解析】先判断方程的类型，再根据根的判别式推导a的取值范围，因为有正根，依据根与系数的关系分两种情况讨论即可本题考查了根与系数的关系，分情况讨论是解答本题的关键11.【答案】解：设扇形的圆心为A，O与扇形的弧切于点B，与扇形的半径切于点C，E与扇形的半径切于点F，连接AB，OC，EF，AE，OE，过E作EDOC于点D 由题可知，A，O，B共线，直角AOC中OAC=30°，OA=2OC=2OB，AB=OA+OB=3OB=3，OB=1，即O的半径为1设E的半径为r，则EF=CD=r，在直角DOE中，ODE=90°，OD=1r，OE=1+r，则DE=2 r在直角AEF中，AFE=90°，AE=3r，EF=r，AF=2 r+ 3，由勾股定理可得：(2 r+ 3)2+r2=(3r)2，解得：r=21±6 625又因为r<1，r=216 625，即E的半径为216 625 【解析】设扇形的圆心为A，O与扇形的弧切于点B，与扇形的半径切于点C，E与扇形的半径切于点F，连接AB，OC，EF，AE，OE，过E作EDOC于点D.根据含30度角的直角三角形的性质得出O的半径为1.设E的半径为r，则EF=CD=r，直角DOE，AEF中得DE=2 r，AE=3r，EF=r，AF=2 r+ 3，勾股定理列出方程，解方程，即可求解此题考查了切线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用12.【答案】解：59<nn+k<47，5(n+k)<9n，7n<4(n+k) 34n<k<45n，即15n20<