几何学与我们的世界

数学文化 第8卷第1期 201720athematics Education数学教育M欧几里得曾如何统治世界显然，几何学是数学中一个非常有用的领域。我们需要它来测量事物，理解形状，并通过我们生活的空间来进行导航。但我想说明的是几何学远不止如此 ： 它与人类思想和生活的所有方面互相影响。首先，让我们转向一个被公认为“几何之父”的人 ： 古希腊数学家欧几里得（Euclid） 。欧几里得的工作是我们已有的系统通向几何最早的例子。当你在几何中给出一个一般性的命题时，例如毕达哥拉斯定理，你应该从公认的不证自明的命题出发，通过使用逻辑规则推导出它来完成证明。2000 年来，欧几里得的系统方法似乎证明了几何对象的真理，从而实现了确定性。欧几里得严密后世许多重要的思想家相信，只要其他对象遵循同样的方法，它们可能也会具有几何学的确定性。例如笛卡尔（R. Descartes）说，如果我们从不证自明的真理（也称为公理）开始，然后通过逻辑推导得到越来越复杂的真理，那就没有什么我们不能知道的。哲学家斯宾诺莎（B. Spinoza）2甚至写了一本伦理学 ：依几何学方式证明 （Ethica, ordine geometrico 欧几里得 ，15 世纪画家 J. van Gent 作1此文基于 Grabiner 2015 年 12 月在牛津大学举办 Ada Lovelace 论坛的报告，原文以及 演讲视频可见 https:/plus.maths.org/content/how-euclid-once-rules-world.2斯宾诺莎（1632-1677），荷兰哲学家，西方近代哲学史中重要的理性主义者。详细资 料可见 https:/en.wikipedia.org/wiki/Baruch_Spinoza.几何学与我们的世界1Judith Grabiner/ 文 王 涛 / 译2017 第8卷第1期 数学文化21athematics Education数学教育Mdemonstrata） ，其中明确标注了公理和定义。他宣称证明了上帝的存在，像数学家所做的那样，用 QED 来结束他的证明。在科学方面，牛顿著名的作品数学原理 （Principia Mathematica）清晰地表明了欧几里得的影响力。牛顿称他的著名的运动定律为“公理” ，并以两个数学定理的形式推导出他的引力定律。正如牛顿的名言 ： “原则极少而所获极多，这是几何的荣耀。 ”这里还有一个关于欧几里得影响的例子。 美国独立宣言 （American Declaration of Independence）旨在通过使用欧几里得的形式来激发对其确定性的信心。杰弗逊（Thomas Jefferson）3，这位在他的时代比任何其他美国总统懂更多的数学的总统以这样的论点开始， “我们坚持这些真理是不言而喻的 ： 所有的人生而平等” 。在宣言中还有其他不证自明的真理， 他使用了 “证明” 这个词，成立美国的实际宣言被明确地表示为一个逻辑推理的结论，从“因此”开始 ：“因此，我们宣布这些联合的殖民地，按照法律应该是自由和独立的州。 ”因此，在哲学、神学、科学和政治中，理想化的欧几里得推理模型已经形成了证明、真理和确定性的概念。欧几里得公设在我们研究欧几里得几何的影响之前，让我们先来看一下他建立这个几何的假设，或公设。其中前四条公设显示在右框中。它们是直观的，在正常心智下没有人会质疑它们。但是有一个第五公设，称为平行公设 ：如果落在两条直线上的一条直线使得同一侧上的内角加起来小于两个直角，如果无限地延长，则两条直线在该侧相交。感到困惑？这里有一个理解它的图 ：欧几里得的前四条公设 ：1. 从任意一点到任意其他点可作一条直线。2. 一条有限直线可以根据需要任意延长。3. 可以任意点为中心并且以任何长度作为其半径来作圆。4. 所有直角彼此相等。3杰弗逊， 美国第三任总统，美国独立宣言 的主要起草人。 详细资料可见维基 https:/en.wikipedia.org/wiki/Thomas_ Jefferson.数学文化 第8卷第1期 201722athematics Education数学教育M这个公设是说，如果角 A 加上角 B 小于两个直角之和，则绿线必定在两角所在的同一侧相交。我有时会要求我的学生们投票决定这个公设是否是不证自明的，他们绝大多数同意不是你必须画一个图来理解它。但如果它不是自明的，那也许就不应该被视为给定，而是从其他公设证出。希腊人试图这样做，但他们失败了。中世纪伊斯兰与犹太的数学家，以及 17 和 18 世纪欧洲的数学家也是如此。然而，希腊人成功证明的是，第五公设在逻辑上等价于平行线的唯一性 ：给定一条直线 L 和一个点 P，只有一条通过点 P 平行于 L 的直线，且这条线与L 位于同一平面上。欧几里得与物理欧几里得从没谈到他的几何图形所在的空间，但他似乎隐含地认为它在所有方向上都可以无限展开，其中每个点都像其他点一样。后来的思想家，特别是从文艺复兴开始，开始大量谈论空间。他们同意平行线的唯一性距支点距离相等处有相等重量的杠杆一定平衡LP2017 第8卷第1期 数学文化23athematics Education数学教育M这些早先的假设。空间的思想应该是来自充足理由律（Principle of sufficient reason）的，这一点乍看起来似乎非常明显 ：对于任何一件事情，总有原因使得它必须是它那样或者不是它那样。这个原理至少与阿基米德（Archimedes）一样古老，它使得我们能解释我们周围的世界。这里有一个例子 ： 我们如何知道在距支点相等处具有相等重量的杠杆一定平衡？可以，那为什么不呢？没有理由让杠杆在任何一侧下降 ： 所以它在两个方向都不下降，因此杠杆平衡。充 足 理 由 律 最 伟 大 的 拥 护 者 是 17 世 纪 的 数 学 家 莱 布 尼 兹（G. W. Leibniz） ，他相信上帝在制造宇宙中使用这个原理与逻辑定律。由于上帝使宇宙理性，所以人类可以弄清楚宇宙。宇宙对人类理性是可以理解的一个显著的例子是牛顿第一定律在牛顿五十年前已经由笛卡尔与伽森迪（P. Gassendi）4独立发现。下面是他们的思考过程。定律说，运动物体在不受力的作用下保持匀速直线运动。为什么？物体始终在一条直线上，因为没有理由转向其他方向，所有的方向都是一样的。物体匀速运动，因为它没有理由加速或减速 ： 空间中的所有点是相同的，所以物体也没有理由在某一点比另一点多。类似的推论是一个静止的物体在不受力作用下将停留在原地。充足理由是一个强大的原理，它似乎暗示了我们生活的空间就像欧氏几何的空间。这并不奇怪，因为 17 和 18 世纪的思维完全是欧氏的。例如，牛顿的物理学隐含地依赖于欧几里得的第五公设。它需要那些你或许在中学就遇到的力的平行四边形，而证明平行四边形的性质又需要欧几里得的平行线理论，因此需要第五公设。一个力的平行四边形 4伽森迪（1592-1655），法国科学家、数学家和哲学家。详细资料可见维基 https:/en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Gassendi.数学文化 第8卷第1期 201724athematics Education数学教育M如上图所示，两个实心蓝色箭头表示作用在位于其尾部的质点的两个力。箭头的长度表示两个力在单位时间内作用于质点上可以产生的速度，它们的方向表示力的方向。红色箭头表示两个力作用在一起的合力。这就是为什么 18 世纪的数学家如此关心证明第五公设。这是非常重要的，不只对几何学，而是所有的科学都依赖它。一个有趣的例子来自于数学家拉格朗日（J-L. Lagrange） ：他对充足理由律的印象如此深刻，以致于他试图用其来证明第五公设。他的论点是有缺陷的，但一个重要的事实是这样一个重要的数学家，将此研究公之于众并将欧式空间与充足理由律联系起来。欧几里得与哲学哲学同样被欧几里得的思想渗透。一个超级有影响力的哲学家康德（I. Kant）5说道，空间是存在于我们心中的东西，在我们心中每个人都有相同的唯一“空间” 。事实证明，对于康德而言，这个空间必须是欧氏的。为了证明我们能得出关于非物质事物的复杂真理，康德用到了欧几里得证明三角形内角和为两直角的证明。这个证明使用了几何构造。在哪里做这些构造？不是在纸上几何不是关于物理的三角形或直线。康德说，你在心里的空间中做了。欧几里得的证明最终需要第五公设。因此，这个关于内角和的定理需要空间是欧氏的。康德没有说到这一点，但他确实说只有一个空间。所以对康德来说欧式空间无可替代似乎是可想而知的。另一个将欧氏空间视为真理的是哲学家伏尔泰（Voltaire）6。他分享了 18世纪的普遍观点，即普遍同意是真理的标志。他说 ： “在几何学中没有教派。人们不会说我是一个欧氏人，我是一个阿氏人 。证明真理，整个世界将是你的观点。 ”数学例证了这一点， 对于伏尔泰而言， 伦理也应如此！伏尔泰写道：“只有一个道德，因为只有一种几何。 ” （我的一个学生反驳说“伏尔泰在这两点都错了！”我们将会在本文的第二部分看到为什么。 ）艺术与建筑中的欧几里得现代时期的早期艺术和建筑也反映了欧氏空间的思想。这里是文艺复兴的第一个重要的透视绘画 ： 马萨乔（Masaccio）的圣三位一体 （Trinity）7。现在我们习惯于从二维图片看三维，因为我们有摄影、电视和苹果手机等。5康德（1724-1804），德国哲学家，德国古典哲学的创始人。详细资料可见维基 https:/en.wikipedia.org/wiki/Immanuel_Kant.6伏尔泰（1694-1778），法国思想家，哲学家与文学家。详细资料可见维基 https:/ en.wikipedia.org/wiki/Voltaire.7圣三位一体为画家马萨乔作于 1427 年的壁画。马萨乔（1401-1428），文艺复兴时期的画家，他是第一位使用透视法的画家。详细资料可见维基 https:/en.wikipedia. org/wiki/Masaccio.