2016年上海市高考数学试卷（文科）

第 1 页（共 18 页）2016 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 56 分）分）.1 （4 分） （2016上海）设 xR，则不等式|x3|1 的解集为 2 （4 分） （2016上海）设 z=，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 3 （4 分） （2016上海）已知平行直线 l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2的距离 4 （4 分） （2016上海）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69，1.76则这组数据的中位数是 （米） 5 （4 分） （2016上海）若函数 f（x）=4sinx+acosx 的最大值为 5，则常数 a= 6 （4 分） （2016上海）已知点（3，9）在函数 f（x）=1+ax的图象上，则 f（x）的反函数 f1（x）= 7 （4 分） （2016上海）若 x，y 满足，则 x2y 的最大值为 8 （4 分） （2016上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间0，2上的解为 9 （4 分） （2016上海）在（ ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于 10 （4 分） （2016上海）已知ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径 等于 11 （4 分） （2016上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两 同学各自所选的两种水果相同的概率为 12 （4 分） （2016上海）如图，已知点 O（0，0） ，A（1，0） ，B（0，1） ，P 是曲线 y=上一个动点，则的取值范围是 13 （4 分） （2016上海）设 a0，b0若关于 x，y 的方程组无解，则 a+b 的取值范围是 第 2 页（共 18 页）14 （4 分） （2016上海）无穷数列an由 k 个不同的数组成，Sn为an的前 n 项和，若对 任意 nN*，Sn2，3，则 k 的最大值为 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得分，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否分，否 则一脸得零分）则一脸得零分）.15 （5 分） （2016上海）设 aR，则“a1”是“a21”的（ ） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件16 （5 分） （2016上海）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ）A直线 AA1B直线 A1B1C直线 A1D1D直线 B1C117 （5 分） （2016上海）设 aR，b0，2） ，若对任意实数 x 都有 sin（3x）=sin（ax+b） ，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A1B2C3D4 18 （5 分） （2016上海）设 f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为 R 的三个函数，对于命题： 若 f（x）+g（x） 、f（x）+h（x） 、g（x）+h（x）均是增函数，则 f（x） 、g（x） 、 h（x）均是增函数；若 f（x）+g（x） 、f（x）+h（x） 、g（x）+h（x）均是以 T 为周期 的函数，则 f（x） 、g（x） 、h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A和均为真命题B和均为假命题 C为真命题，为假命题 D为假命题，为真命题三、简答题：本大题共三、简答题：本大题共 5 题，满分题，满分 74 分分19 （12 分） （2016上海）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小第 3 页（共 18 页）20 （14 分） （2016上海）有一块正方形 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走于是，菜地分别为两个区域 S1和 S2，其中 S1中的蔬菜运到河边较 近，S2中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1和 S2的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距 离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0） ，如图 （1）求菜地内的分界线 C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此得到 S1面积的经验值为 设M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S1面积的“经验值”21 （14 分） （2016上海）双曲线 x2=1（b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l过 F2且与双曲线交于 A、B 两点（1）若 l 的倾斜角为，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b=，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率22 （16 分） （2016上海）对于无穷数列an与bn，记 A=x|x=an，nN*， B=x|x=bn，nN*，若同时满足条件：an，bn均单调递增；AB=且 AB=N*，则称an与bn是无穷互补数列（1）若 an=2n1，bn=4n2，判断an与bn是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若 an=2n且an与bn是无穷互补数列，求数量bn的前 16 项的和； （3）若an与bn是无穷互补数列，an为等差数列且 a16=36，求an与bn的通项公 式23 （18 分） （2016上海）已知 aR，函数 f（x）=log2（ +a） （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）1；（2）若关于 x 的方程 f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值；（3）设 a0，若对任意 t ，1，函数 f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围第 4 页（共 18 页）2016 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 56 分）分）.1 （4 分） （2016上海）设 xR，则不等式|x3|1 的解集为 （2，4） 【考点】绝对值不等式菁优网版权所有【分析】由含绝对值的性质得1x31，由此能求出不等式|x3|1 的解集【解答】解：xR，不等式|x3|1，1x31，解得 2x4不等式|x3|1 的解集为（2，4） 故答案为：（2，4） 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值 不等式的性质的合理运用2 （4 分） （2016上海）设 z=，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 3 【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有 【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：z=3i+2，则 z 的虚部为3故答案为：3【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题3 （4 分） （2016上海）已知平行直线 l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2的距离 【考点】两条平行直线间的距离菁优网版权所有 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：平行直线 l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2的距离：=故答案为：第 5 页（共 18 页）【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力4 （4 分） （2016上海）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69，1.76则这组数据的中位数是 1.76 （米） 【考点】众数、中位数、平均数菁优网版权所有 【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可 【解答】解：将 5 位同学的身高按照从小到大进行排列为 1.69，1.72，1.76，1.78，1.80 则位于中间的数为 1.76，即中位数为 1.76， 故答案为：1.76 【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解 决本题的关键5 （4 分） （2016上海）若函数 f（x）=4sinx+acosx 的最大值为 5，则常数 a= ±3 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的最值菁优网版权所有 【分析】利用辅助角公式化简函数 f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为 5，求得 a 的值【解答】解：由于函数 f（x）=4sinx+acosx=sin（x+） ，其中，cos=，sin=，故 f（x）的最大值为=5，a=±3，故答案为：±3 【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题6 （4 分） （2016上海）已知点（3，9）在函数 f（x）=1+ax的图象上，则 f（x）的反函数 f1（x）= log2（x1） （x1） 【考点】反函数菁优网版权所有【分析】由于点（3，9）在函数 f（x）=1+ax的图象上，可得 9=1+a3，解得 a=2可得f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换即可得出 f（x）的反函数 f1（x） 【解答】解：点（3，9）在函数 f（x）=1+ax的图象上，9=1+a3，解得 a=2f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换可得：f（x）的反函数 f1（x）=log2（x1） 故答案为：log2（x1） ， （x1） 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题第 6 页（共 18 页）7 （4 分） （2016上海）若 x，y 满足，则 x2y 的最大值为 2 【考点】简单线性规划菁优网版权所有 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：画出可行域（如图） ，设 z=x2yy= x z，由图可知，当直线 l 经过点 A（0，1）时，z 最大，且最大值为 zmax=02×1=2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键， 利用数形结合是解决问题的基本方法8 （4 分） （2016上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间0，2上的解为 或 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】解：方程 3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=22sin2x，即 2sin2x+3sinx2=0可得 sinx=2， （舍去）sinx= ，x0，2解得 x=或故答案为：或【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力第 7