分段函数的若干问题研究
本科生毕业论文本科生毕业论文题题 目目分段函数的若干问题研究 系系 别别数学与应用数学 班班 级级 112 班 姓姓 名名张伟 学学 号号 104131231 答辩时间答辩时间 2015 年 5 月 新疆农业大学数理学院新疆农业大学数理学院目 录摘要.11 分段函数的基本定义.21.1 基本定义 .21.2 定义域、值域 .31.3 性质 .31.3.1 分段函数的单调性.31.3.2 分段函数奇偶性的判断.41.3.3 分段函数周期性的判断.41.4 分段函数的特点 .52 分段函数连续性、可导性和可积性.52.1 分段函数连续性 .52.2 分段函数在分段点处的可导性 .62.2.1 基本定理.62.2.2 导数的计算方法.72.3 分段函数的可积性.92.3.1 可积性与原函数的存在性 .92.3.2 不定积分的求法.102.3.3 定积分的例子 .113 其他计算问题.133.1 幂级数.133.2 微分方程.153.3 二元分段函数连续性问题 .154 结论.15参考文献.16谢 辞.170分段函数的若干问题研究张伟 指导教师：程霄摘要：函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。在自然科学与工程技术中，经常会遇到分段函数。本文从分段函数的基本性质入手，分析了分段函数的特点。进而重点总结了分段函数在分段点外的连续性，可导性，可积性等重要性质与计算方法。同时，还探讨了的分段函数的其它若干计算问题。关键词：分段函数；连续性：可导性；积分运算1函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并不对分段函数进行严格地定。对其特征、性质等都没有作出任何说明;并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。因此，应适当地加强分段函数的讨论，在相关知识中融人分段函数的内容，并给出较详细的说明。这样做，既有利于对函数的概念、性质等问题的理解以及函数思想的形成与培养，也有利于提高和加强分析问题和解决问题的能力。1 分段函数的基本定义1.1 基本定义所谓分段函数，是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式表示，而是用几个不同的解析式来表达的函数，有时可能要用无穷多个解析式。对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函x数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。分段函数一般定义为：设是一个区间：I1(1),() (2) ( )( ),1,2,.,niijiiiII IIijf xf x xI in UI则称为上的分段函数。( )f xI由于数学分析中遇的分段函数，每个都是上的初等函数，所以和初等ifiI函数一样我们可以去讨论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质。由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式来表示的，所以它们经常具有某些独特的性态，这也正是我们所关注的。特别在函数解析表达式的分段点处，是出现这类独特性态的敏感点，因而是讨论的重点.通过对分段点的讨论可以论证函数的一些典型的或重要的性质。例如，为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质，在数学分析中给出了黎曼函数，并证明它在有理点处都不连续，在无理点处都连续。2(黎曼函数) 是无理数互质与且xxmnNnZmnmxn xR, 00, 1,11.2 定义域、值域因函数的定义域是自变量的取值集合，值域是因变量的取值集合，所以，分段函数的定义域即为每段上自变量取值范围的并集。值域为每段上因变量取值范围的并集。例 1：求函数 的定义域及值域。 1, 01, 1)(xxxf解：的定义域是不等式解集的并集，值域为的并)(xf11xx与 10 与集。故：的定义域为：)(xf , 11 , 11,UU值域为： 1 , 01.3 性质1.3.1 分段函数的单调性对于分段函数的单调性的判别，要分段分区间找出函数的单调区间。在分段点左右两边单调性一致时，还要根据分段点处的函数值及左右两区间的函数值的大小判断两区间是否可并为一个区间。例 2：求函数 单调区间。 1, 510 , 20,) 1()(2xxxxxxxf解： 在区间上函数为减函数，上函数0,) 1()(2xxxfQ1,0 , 1为增函数。在区间上函数为增函数 10 ,2xxxf1 , 0在区间上函数为减函数 1, 5xxxf, 1又在区间上函数单调性一致，且在分段点两侧，右边函数Q1 , 0,0 , 10x3值总比左边函数值大，故在区间上函数单调性一致 1 , 11 , 0,0 , 1所以，函数的单调区间为：是函数的单调递减区间, 1,1,是函数的单调递增区间。1 , 11.3.2 分段函数奇偶性的判断分段函数的奇偶性与初等函数奇偶性的判断一样，主要根据定义。一般分两步进行：一、判断定义域是否是对称区间。二、对定义域中任意一个实数x，判断与的关系。对于分段函数还要注意在不同区间上函数解析式xf xf的不同。例 3、判别函数的奇偶性 0,sin1sin0,sin1sinxxxxxxxf解：1、函数的定义域为对称区间。 , 00 ,UD2、对, 0, 00,sin1sin0,sin1sin xxxxxxxxxf有： xfxxxxxfsin1sinsin1sin对，0, 0xx则有： xfxxxxxfsin1sinsin1sin即对，恒有Dx xfxf所以为奇函数。 xf1.3.3 分段函数周期性的判断根据周期函数的定义来判断，并注意每段的解析式不同，在计算过程中要分区间分段进行讨论。例 4：讨论的周期性。（其中， 121,121,zxzxxzxzxx xfZz为取整函数） x解：1、在定义域中任取一个，有：或则：x21zxz121zxz4或21111zxz111211zxz即：也在定义域中.1z2、，有时当21zxz21111zxz则： xfxxxxxxxf11111，有时当121zxz111211zxz则： xfxxxxxxxxxf111111111即在定义域中任取一个，也在定义域中，且x1x xfxf1所以：是以 1 为周期的周期函数. xf1.4 分段函数的特点从定义中不难看出，它有以下几个特点：(1) 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；(3) 解答分段函数问题时应突出“分类讨论”、“数形结合”、“对号入座”、“先分后合”、“整体把握”等数学思想3。2 分段函数连续性、可导性和可积性2.1 分段函数连续性对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常x叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。初等函数是用一个解析表达式表示的函数。一般的分段函数不是初等函数，但是如果分段函数能够通过恒等变形变成一个解析表达形式，就是初等函数。定义定义 设函数在的某邻域内有定义，若( )yf x0x0(, )U x，则称函数在点处连续。0 0lim( )() xxf xf x ( )yf x0x由定义，在处连续 ，3 个条件缺一不可。( )f x0x00x()lim( ) xf xf x 存在存在二者相等5一元分段函数在分段点处极限的判断判断一元分段函数在分段点处极限的存在性，一般是根据分段函数的表达形式进行的。定理定理 在处连续设函数在某上有定义，若( )f x0xf0()U x 0)(lim)(lim00xfxfxf xxxx 则称在点处连续f0x如果分段函数在分段点的左右，函数表达形式不同，则采
