新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习

第六章第六章 实数实数知识网络：知识网络： 考点一、实数的概念及分类考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类、实数的分类2、无理数、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如+8 等； 3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等； （4）某些三角函数，如 sin60o等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0, 16是有理数，而不是无理数。3 3、有理数与无理数的区别、有理数与无理数的区别 （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数） ，而无理数则不能写成分数 形式。考点二、平方根、算术平方根、立方根考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义、概念、定义（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟） 。如果，那么 x 叫做 a 的平方根。（3）如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 。如果，那么x 叫做 a 的立方根。 2、运算名称、运算名称 （1）求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号、运算符号 （1）正数 a 的算术平方根，记作“” 。a（2）a(a0)的平方根的符号表达为。（3）一个数 a 的立方根，用表示，其中 a 是被开方数，3 是根指数。4、运算公式、运算公式4、开方规律小结、开方规律小结（1）若 a0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根 是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。考点三、实数的性质考点三、实数的性质 有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数、相反数 （1）实数 a 的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的 相反数是零） （2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值、绝对值 （1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|0。 （2）若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0，零的绝对值是它本身。（3）) 0() 0(aaaa3、倒数、倒数 （1）如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。实数 a 的倒数是 1/a（a0） （2）倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。考点四、实数的三个非负性及性质考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式、非负数有三种形式 （1）任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a|0；（2）任何一个实数 a 的平方是非负数，即0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()。3、非负数具有以下性质、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0.考点五、实数大小的比较考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同： （1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。 （4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无 理数的大致范围，要想正确估算需记熟 020 之间整数的平方和 010 之间整数的立方考点六、实数的运算考点六、实数的运算 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 （3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。 同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 （4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相 应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。二、典例剖析，综合拓展知识点 1：算术平方根1.的算术平方根为（ ） （A） （B） （C）± （D） （）21691 131 131 131 1691算术平方根的定义： 2. 的算术平方根可表示为 ，即 = 1691算术平方根的表示方法： （用含 a 的式子表示）3. 有算术平方根吗？8 的算术平方根是2 吗？1691算术平方根具有 性，即被开方数 a 0，本身 0，必须同时成立a4、已知的小数部分为，的小数部分为，则 115m115n nm跟踪练习：式子有意义，x 的取值范围 3x已知：y=+3,求 xy 的值5xx5，求 a+b 的值043ba知识点 2：平方根 1. 49 的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ； 2、的平方根是 9 3、快速地表示并求出下列各式的平方根1 |5| 0.81 （9）2169平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含 a 的式子表示）平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是和，求这个数1a72 a5.用平方根定义解方程16（x+2）2=81 4x2-225=06、下列说法正确的是( )A、的平方根是 B、表示 6 的算术平方根的相反数1646 C、 任何数都有平方根 D、一定没有平方根2a 知识点 3：立方根1. 8 的立方根是 ，表示为 立方根的定义： 立方根的表示方法： （用含 a 的式子表示）2.说出下列各式表示的意义并求值：= = = （）3= 3512. 0372933)2(383.如果有意义，x 的取值范围为 32x立方根的性质： 4.用立方根的定义解方程x3-27 =0 2（x+3）3=512拓展提高：1、已知， （1） ；（2） ；732. 13 477. 530 3003 . 0（3）0.03 的平方根约为 ；（4）若，则 77.54xx2、已知，求（1） ；442. 133107. 3303694. 6300333 . 0（2）3000 的立方根约为 ；（3），则 07.313xx知识点 4：重要公式公式一: = = = 222324= = = 2)2(2)3(2)4( = 2a有关练习： 1.= = 2)71(219992.如果=a-3，则 a 的取值范围是 ； 2)3( a如果=3-a,则 a 的取值范围是 2)3( a3.数 a,b 在数轴上的位置如图：化简：+|c+a|2)(ba 公式二： （）2= （）2= （）2= 4925= (a0)2)( a综合公式一和二，可知，当满足 a 条件时，=2a2)( a公式三： = = = 332333334= = = 33)2(33)3(33)4(= ； 33a随堂练习：化简：当 1a3 时， +2)1 (a33)3( a公式四： （）3= （）3= （）3= 383273125= 33)( a综合公式三和四，可知，当满足 a 条件时，=33a33)( a公式五： = 3a知识点五：实数定义及分类无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的1、判断下列说法是否正确：（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ） （2）无限小数都是无理数。 （ ）（3）无理数都是无限小数。 （ ） （4）根号的数都是无理数。 （ ） baC0一、选择题一、选择题(每题 3 分,共 36 分)1. 下列等式正确的是（ ）（A）3 （B）±12 （C）2 （D）52)3(1448252. 算术平方根等于 3 的是（ ）（A） （B）3 （C）9 （D）393.下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）a2的算术平方 根是 a；（4） （4）2的算术平方根是4；（5）算术平方根不可能是负数。其中不正确的有（ ） （A）5 个 （B）4 个 （C）3 个 （D）2 个 4. 若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）1 （D）±1, 05. 若=x，则实数 x 是（ ）x(A)负实数 （B） 所有正实数 （C）0 或 1 （D）不存在6. 若=-a