线性代数及概率论与数理统计-多套复习试题压缩打印版（含答案）

1.已知正交矩阵 P 使得，则100 010002TP AP 20061()TP AAA P2设 A 为 n 阶方阵，是的个特征根，则 det( )= 12,n AnTA3设 A 是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：nmBAX mB 4若向量组 =（0，4，2） ，=（2，3，1） ，=（t，2，3）的秩不为 3，则 t=5，则的全部根为：2315131 5227( )5439583xD xxx0)(xD1n 阶行列式的值为（ ）A B， C， D，111 110100 1( 1)n(1) 2( 1)n n (1) 2( 1)n n 2对矩阵施行一次列变换相当于（ ） 。nmAA 左乘一个 m 阶初等矩阵 B 右乘一个 m 阶初等矩阵 C 左乘一个 n 阶初等矩阵 D 右乘一个 n 阶初等矩阵 3若 A 为 m×n 矩阵，。则（ ） 。( )r Arn|0,nMX AXXRA是维向量空间 B， 是维向量空间 C，是 m-r 维向量空间 D，是 n-r 维向量空间MmMnMM4若 n 阶方阵 A 满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ） 。2AA， B， C， ， D，( )r An( )2nr A ( )2nr A ( )2nr A 5若 A 是 n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不不成立（ ） 。A 矩阵-AT为正交矩阵 B 矩阵-为正交矩阵 C 矩阵 A 的行列式是实数 D 矩阵 A 的特征根是实数1A1若 A 为 3 阶正交矩阵， 求 det (E-)2计算行列式。2Aabbbbabbbbabbbba3设，求矩阵 A-B。020 200 , 001AABAB 4、求向量组的的秩。1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)5、 向量在基下的坐标（4，2，-2） ，求在下的坐标。) 1 , 1, 1 (),1 , 1 , 0(),1 , 1 , 1 (, 四、 （12 分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示） 。123451234512345223273251036xxxxxxxxxxxxxxx 五、 （12 分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2 123123( ,)4f x x xx xx六、设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证012,r LAXAX对于任意的常数 a，线性无关。12,raaa L一填空题（1） 2-2-5*220052.1···n3.m=r(A)=r(A,B)3Axf xx 当当或五设二维随机变量(,)的联合分布是 (1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及 ()E 1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10六(本题 10 分)有 10 盒种子，其中 1 盒发芽率为 90，其他 9 盒为 20.随机选取其中 1 盒，从中取出 1 粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少？七(本题 12 分) 某射手参加一种游戏，他有 4 次机会射击一个目标.每射击一次须付费 10 元. 若他射中目标，则得奖金 100 元，且游戏停止. 若 4 次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款 100 元. 若他每次击中目标的概率为 0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八(本题 12 分)某工厂生产的零件废品率为 5，某人要采购一批零件，他希望以 95的概率保证其中有 2000 个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：,)(1.28)0.90(1.65)0.95九(本题 6 分)设事件A、B、C相互独立，试证明与C相互独立.ABU某班有 50 名学生，其中 17 岁 5 人，18 岁 15 人，19 岁 22 人，20 岁 8 人，则该班学生年龄的样本均值为_.十测量某冶炼炉内的温度，重复测量 5 次，数据如下（单位：）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度.估计，求总体温度真值的 0.95 的置信区间. (注：,2( ,)N 10(1.96)0.975)解：-2 分(1.65)0.951(1820 1834 1831 1816 1824)18255已知，n=5, 10.95, 0.050.025 21.96uu100.025 2101.96 108.7755uun所求真值的 0.95 的置信区间为1816.23, 1833.77（单位：）一1 （D） 、2.（D） 、3.（A） 、4.（C） 、5.（C）二10.85、2. n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/42()E三把 4 个球随机放入 5 个盒子中共有 54=625 种等可能结果-3 分（1）A=4 个球全在一个盒子里共有 5 种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125-5分(2) 5 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法-7 分302 41 5CC4 个球中取 2 个放在一个盒子里，其他 2 个各放在一个盒子里有 12 种方法，因此，B=恰有一个盒子有 2 个球共有 4×3=360 种等可能结果.故-10 分12572 625360)(BP四解：（1）（2）304ln1, 4ln1)(AAdxxAdxxf10212ln1) 1(AdxxAP（3）3 3 0 0( )( )ln(1)1AxExf x dxdxA xxx13(3ln4)1ln4ln4五解解：（1） 的边缘分布为 的边缘分布为 29. 032. 039. 02 1 0 28. 034. 023. 015. 05 4 2 1因,故 与 不相互独立-5 分) 1()0(05. 0) 1, 0(PPP（2）的分布列为 因此，另解另解：若 与 相互独立,则应有16. 310. 01011. 0811. 0509. 0417. 0203. 0139. 00)( EP(0,1)P(0)P(1); P(0,2)P(0)P(2);P(1,1)P(1)P(1); P(1,2)P(1)P(2);因此，但 ，故 与 不相互独立。) 1()0( )2, 1()2, 0( ) 1, 1() 1, 0( PP PP PP 10. 012. 003. 005. 0六解：由全概率公式及 Bayes 公式P(该种子能发芽)0.1×0.9+0.9×0.20.27P(该种子来自发芽率高的一盒)(0.1×0.9)/0.271/3七令 Ak=在第 k 次射击时击中目标，A0=4 次都未击中目标。于是P(A1)=0.3; P(A2)=0.7×0.3=0.21; P(A3)=0.72×0.3=0.147 P(A4)= 0.73×0.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401在这 5 种情行下，他的收益 分别为 90 元，80 元，70 元，60 元，140 元。因此，65.26)140(2401. 0601029. 070147. 08021. 0903 . 0)(E八解：设他至少应购买n个零件，则n2000，设该批零件中合格零件数 服从二项分布 B(n,p), p=0.95. 因n很大B(n,p)近似与N(np,npq) 由条件有因，故，解得 n=2123,2000(2000)1()0.95npPnpq (1.65)0.952001.65np npq 九证：因 A、B、C 相互独立，故 P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).() )()()()()P AB CP ACBCP ACP BCP ABCUU( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )P A P CP B P CP A P B P C故与 C 相互独立. ( )( )( ) ( ) ( )() ( )P AP BP A P B P CP AB P CUABU1设,为随机事件，则与是互不相。A BCACBA2是正态随机变量的分布函数，则.)(xF)(1)(xFxF3若随机变量与独立，它们取 1 与的概率均为，则. XY15 . 0YX 01245810P0.390.030.170.090.110.110.104等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计. 2X26在给定的置信度下，被估参数的置信区间不一定惟一. 17在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的. 1H（1）设，则下面正确的等式是 。AB （）（）；（）（）)(1)(APABP)()()(APBPABP)()|(BPABP)()|(APBAP（2）离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是 。XkAkXP )(L,2, 1k（）且（）且（）且（）且.1)1 (A0A1A1011A10A10（3）设个电子管的寿命()独立同分布，且()，则个电子管的平均寿命的方差 10iX101iAXDi)(101i10Y)(YD.（）；（）；（）；（）.AA1 . 0A2 . 0A10（4）设为总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则有 。),(21nXXXL) 1,0( NXX2S（）；（）；（）（）.) 1,0( NX) 1,0( NXn) 1(/ntSX) 1, 1 (/) 1(222 1 nFXXnnii（5）设为总体(已知)的一个样本，为样本均值，则在总体方差的下列估计量中，为无偏估计),(21nXXXL),(2NX2量的是 。（）（） niiXXn122 1)(1 niiXXn122 2)(11（）（）. niiXn122 3)(1 niiXn122 4)(11（1）设随机事件