《复变函数》第一章习题全解钟玉泉版

第一章第一章 复复变变与复与复变变函数函数（一）（一）1.解：1)23()21(22zArgz=argz+= k2kk232)3arctan(), 2, 1, 0(Lk2.解:因为ieizeiz6423,2121所以iiezzezz125 12 21,221 213.解:由 得044 az44az则二项方程的根为awkk)1(4)3 , 2 , 1 , 0(kaeeiik442)3 , 2 , 1 , 0(k因此 , )1 (20iaw)1(21iaw, )1(22iaw)1 (23iaw4.证明:因为)Re(2212 22 12 21zzzzzz)Re(2212 22 12 21zzzzzz两式相加得)(22 22 12 212 21zzzzzz几何意义:平行四边形两队角线的平方和等于各边平方和.5.证明:由第 4 题知)(22 22 12 212 21zzzzzz由题目条件 知0321zzz321zzz可有 321zzz于是 3)(2)(22 32 22 12 212 22 12 21zzzzzzzzz同理 32 132 32zzzz所以 3133221zzzzzz因此是内接宇单位圆的等边三角形的顶点.321,zzz6.解:(1)表示点的轨迹是与两点连线的中垂线;不是区域.z1z2z(2)令,由得yixz4 zz,即,得yixyix)4(2222)4(yxyx2x因此, 点的轨迹是以直线为右界的右半平面(包括直线);不是区z2x域.(3)同(2),得,故点的轨迹是以虚轴为左界的右半平面(包括虚轴;是yixz0xz区域.(4)由 得 即 3Re24) 1arg(0zz3241arctan0xxy 3210 xxy可知点的轨迹是一梯形(不包括上,下边界);不是区域.z(5)点的轨迹是以原点为圆心,2 为半径以及(3,0)为圆心,1 为半径得两闭圆的z外部.是区域.(6)点的轨迹的图形位于直线的上方(不包括直线)且在以原点z1Imz1Imz为圆心,2 为半径的圆内部分(不包括圆弧);是区域.(7)点的轨迹是,半径为 2 的扇形部分;是区域.z4argz(8)点的轨迹是以为圆心,为半径以及为圆心, 为半径的两闭z)2, 0(i 21)23, 0(i 21圆的外部.是区域.7.证明:已知直线方程一般式为为实常数,不全为零.),(0cbacbyaxba,以 代入化简得izzyzzx2,20)(21)(21czbiazbia令 得 0)(21bia0czz反之(逆推可得).8.证明: 因为 Z 平面上的圆周可以写成其中为圆心， 为半径0zz 0z所以 2 000zzzzzz 0000z zzzzzzz 令，从而圆周可以写成2 001,ABz Cz 为实数，且0AZZBZBZC,A C222 00BzzAC 9.证明：可证为实数.1213 zzzz 10.解:(1)令,得,即曲线为一,三象限的角平分线.)1 (ityixzyx (2)令得,则有,sincostibtayixztbytaxsin,cos,故曲线为一椭圆.12222 by ax(3)令,可得,则,故曲线为一双曲线.)0( tittyixztytx1,1xy(4)令,得,即,故曲22 ttyixz221,tytx1xy)0, 0(yx线为双曲线在第一象限内的一支.11.解:(1)由于,又有4222zyx)(411122yixyxyix yixzw所以 则,4,4yvxu41)(1612222yxvu这表示在平面上变成的曲线是以原点为圆心,为半径的圆周.w21(2)将代入,即中得xy yixw1 yixivu1xi xxi ixivu221 21 )1 (1于是因此,故曲线为平面上二,四象限的角分线.,21,21 xvxuuvw(3)同上将代入变换 得1xyixivu1211 11 yyi yiivu于是且,1,1122yyvyuuyyyvu2222 22 11 )1 (1故解得,这表示曲线变成平面上的一个以为圆心,41)21(22vuw)0 ,21(为半径的圆周.21(4)因,即可得1) 1(22yx0zzzz将代入得wzwz1,1,即,因此01111wwwwwwww ww11 ww所以这表示曲线变成平面上的一条过且平行于虚轴的直线.w)0 ,21(12.证明:(1)首先考虑函数在平面上的连续性.nzzf)(z对复平面上任意一点,来证明0znnzzzz0 0lim 不妨在圆内考虑.10zMz因为,故对,1 01 0021 00(nnnnnnnMzzzzzzzzzzL0只需取,于是当时,就有.1nnM0zznnzz0(2)由连续函数运算法则,两连续函数相除,在分母不为零时,仍连续.因此在)(zf平面上除使分母为零点外都连续.z13.证明:令 zzzzzfarg0, 00,arg)(分情况讨论:(1) 若,由于当沿直线趋于原点时,趋于,00zz)(arg00z)(zf0这里可以取不同值,因而在处不连续.0)(zf00z(2) 若由定义当从上半平面趋于时, 趋于,当从下半平)0(0 xzz0z)(zfz面趋于时, 趋于,所以在实轴上不连续.0z)(zf)(zf(3) 其他点,作一个以为中心为半径的圆,只要充分小,这个圆总可以0z0z不与负实轴相交.任取的一个值,以为中心为半径的圆,因,故存在自然0Argz00z0zzn数,当时,落入圆内,从原点引此圆的两条切线,则此两条切线夹NNn nz角为,因此总可以选取的一个值.当)(20arcsin)(znArgznzarg时,有,因时,.因而,总可以选取,Nn )(arg0nz00)(使小于任何给定的,即总有.因此在连)(00argargzz)(zf0z续.综上讨论得知, 除原点及负实轴上的点外处处连续.)(zf14.证明:由于的表达式都是的有理式,所以除去分母为零的点,)(zfyx,0z是连续的,因而只须讨论在的情况.)(zf)(zf0z当点沿直线趋于时,yixzkxy 0z222211)(kk kk yxxyzf这个极限值以的变化而不同,所以在不连续.k)(zf0z15.证明:由连续即得.zzf)(16.证明:在内连续且不为 0，故在内连续1z1z 1 1z1z ，均存在使得011,0,2121,142zz 124zz 12 12112111f zf zzz故在内非一致连续 f x1z 17.证明：必要性：设，由定义，当时，恒iyxz n000lim 0, 0NNn 有，从而由定义知0zzn00zzxxnn00zzyynn即)(,00nyyxxnn充分性:由定义得00000)()(yyxxiyyxxzznnnnn因此,当时,必有.)(,00nyyxxnn)(0nzzn18.证明:利用第 17 题,及关于实数列收敛的柯西准则来证明.必要性:设.则由定义对，当时，恒0limzzn n 0)2(, 0NNNn 有.20 zzn因而对任何自然数,也有.p20zzpn利用三角不等式及上面两不等式, 当时,有Nn 00zzzzzznpnnpn充分性:设对,当时,有,由定义0)(, 0NNpnn,0zzpn得 npnnpnzzxxnpnnpnzzyy由此根据实数序列的柯西准则,必存在两个实数,使00, yx,有)(,00nyyxxnniyxiyxznnn0019.证明:设,因为,所以), 3 , 2 , 1(LnMziyxznnnnMzyxnnn,都有界. nnyx ,根据实数列的致密性定理,知有收敛于某常数的子序列,相地在 nxa knx中,任有界,因而也有以收敛于某一常数的子), 2 , 1(Lkiyx kknn kny knyb序列,在中, 任收敛于,因此所设序列 kjny), 2 , 1(Ljiyxz kjkjkjnnn knxa有一收敛于的子序列.bia 20.证明:(1)若,则由定义对,当时有00zN, 0Nn 2nz而 nzzz nzzz nzzzznNNNn nLLL212121固定,取,则当时,有N nzzzqNNL2102,max0Nn 221 nzzzNL故 nzzz nzzzznNNN nLL2121(2)若,则当,00z0)(lim0 zzn n00001 0)()(znnzzzzzzzn nL0)()(001nzzzznL（二）（二）1.解:i ii eee ii 19 3)3(2532)()( )3sin3(cos)5sin5(cos2.解:由于,故itez ntintezntintezntinntinsincos,sincos因此 ntzzntzznn nnsin21,cos213.证明:已知13551322cossin2233n nnn nnnnxiyiii因此 552 cos,2 sin33nn nnnnxy11nnnnx yxy15151552 2cossinsincos3333nnnnnn215152sin33nnn4.证明：第一个不等式等价于，即,即2222)(21yxzyx)(222222yxyxyx0)(2 yx这是显然的,因此第一个不等式成立.第二个不等式等价于,即2222222)(yyxxyxyxz02yx这是显然的,因此第二个不等式成立.5.证明:利用公式 以及)Re(2212 22 1221zzzzzzzz Re6.证明: 因为2 1,azbazb azbzbzabza bza所以22221aabzabzbbabzabza 故 1azb bza7.解:设为对角线的中点,则0z31zzizzz21)(21310分别左旋及右旋向量各,写成复数等式后,即可由此解得顶点的坐标30zz22z为(4,1); 顶点的坐标为(-2,3).4z8.证明:由于与同向相似的充要条件是且1 23z z z123w w w33,zw ,23231313zzww zzww而,于是有,即.23 3 13arg,zzzzz23