2015年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

第 1 页 共 18 页2012015 5 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题一、选择一、选择题题:18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分. .下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有只有 一个选项符合一个选项符合 题目要求的题目要求的，请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .1 1、设函数( )f x在（- ,+ ）连续，其 2 阶导函数( )fx的图形如下图所示，则曲线( )yf x的拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）32 2、设211 23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（）（A）3,1,1.abc （B）3,2,1.abc （C）3,2,1.abc （D）3,2,1.abc3 3、若级数1n na条件收敛，则3x 与3x 依次为幂级数11n n nnax的：（） （A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点第 2 页 共 18 页4 4、 设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数( , )f x y在 D 上连续，则( , )Df x y dxdy （）（A）1 2sin2 1 42sin2( cos , sin )df rrrdr （B）1sin22 1 42sin2( cos , sin )df rrrdr （C）1 3sin2 1 42sin2( cos , sin )df rrdr （D）1 sin23 1 42sin2( cos , sin )df rrdr 5 5、设矩阵2111 12 14Aa a ，21 bd d ，若集合1,2 ，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（）（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad6 6、设二次型123( ,)f x x x在正交变换xPy下的标准形为222 1232yyy，其中123( ,)Pe e e，若132( ,)Qee e，则123( ,)f x x x在正交变换xQy下的标准形为（）（A）222 1232yyy（B）222 1232yyy（C）222 1232yyy（D）222 1232yyy7 7、若,A B为任意两个随机事件，则（）（A）()( ) ( )P ABP A P B（B）()( ) ( )P ABP A P B第 3 页 共 18 页（C）( )( )()2P AP BP AB（D）( )( )()2P AP BP AB8 8、设随机变量X,Y不相关，且2,1,3,EXEYDX则2E X XY（） （A）-3（B）3（C）-5（D）5二、填空题二、填空题：914 小题小题, ,每小题每小题 4 分分, ,共共 24 分分. .请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .9 9、20lncoslim xx x1010、2-2sin()1cosxx dxx1111、若函数( , )zz x y由方程+cos2zexyz xx确定，则(0,1)dz.1212、设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23 )xyz dxdydz1313、n阶行列式2002 -12020022 00-12 1414 、 设 二 维 随 机 变 量(, )X Y服 从 正 态 分 布(1,0,1,1,0)N， 则(0)P XYY.第 4 页 共 18 页三三、 解答题解答题： 15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .解答应写出文解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤. . 1515、 （本题满分 10 分）设函数( )ln(1)sinf xxaxbxx，3( )g xkx， 若( )f x与( )g x在0x 是等价无穷小，求a，b，k值。1616、 （本题满分 10 分）设函数在( )f x定义域I上的导数大于零， 若对任意的0xI， 曲线( )yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0xx及 x 轴所围成的区域的面积为 4，且(0)2f，求( )f x的表达式.第 5 页 共 18 页1717、 （本题满分 10 分）已知函数xyyxyxf),(， 曲线3:22xyyxC， 求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.1818、 （本题满分 10 分）()设函数( ), ( )u x v x可导，利用导数定义证明 ( ) ( )'= '( ) ( )( ) ( )'u x v xu x v xu x v x()设函数12( ),( ).( )nu x uxux可导，12( )( )( ).( ),nf xu x u xux写出( )f x的求导公式.第 6 页 共 18 页1919、 （本题满分 10 分）已知曲线L的方程为222,zxyzx起点为(0, 2,0)A， 终点为(0,2,0)B，计算曲线积分2222()()() LIyz dxzxy dyxydz2020、 （本题满分 11 分）设向量组123, 是 3 维向量空间3的一个基，11322k，222，313(1)k。（）证明向量组123, 是3的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基123, 与基123, 下的坐标相同，并求出所有的。第 7 页 共 18 页2121、 （本题满分 11 分）设矩阵02-3-1331-2Aa 相似于矩阵1-2000031Bb .（）求, a b的值.（）求可逆矩阵P，使得1P AP为对角阵.2222、 （本题满分 11 分）设随机变量X的概率密度为-2 ln20( )=00xxf xx对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数.（）求Y的概率分布；（）求EY.第 8 页 共 18 页2323、 （本题满分 11 分）设总体X的概率密度为11( ; )= 1 0xf x 其他其中为未知参数，12.nXXX，为来自该总体的简单随机样本.（）求的矩估计.（）求的最大似然估计.第 9 页 共 18 页2012015 5 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题参考答案及解析参考答案及解析一、一、选择选择题题（答案）（答案） （1 1） 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】 【详解】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由( )fx的图形可知，曲线( )yf x存在两个拐点，故选(C). （2 2） 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】【详解】211,23xxee为齐次方程的解，所以 2、1 为特征方程2+0ab的根，从 而123,1 22,ab 再 将 特 解xyxe代 入 方 程32xyyyce得：1.c （3 3） 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】【详解】因为1n na条件收敛，故2x 为幂级数11n n nax的条件收敛点，进而得11n n nax的收敛半径为 1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故11n n nnax的收敛区间仍为0,2，因而3x 与3x 依次为幂级数11n n nnax的收敛点、发散点.（4 4） 【答案】(D)第 10 页 共 18 页【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】【详解】由yx得，4；由3yx得，3由21xy 得，212cos sin1,sin2rr由41xy 得，214cos sin1,2sin2rr所以1 sin23 1 42sin2( , )( cos , sin )Df x y dxdydf rrrdr （5 5） 【答案】(D) 【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】【详解】 2211111111,12011114001212A badadadaadd Axb有无穷多解( )( , )3R AR A b1a或2a 且1d 或2d （6 6） 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】【 详 解 】 由xPy， 故222 123()2TTTfx AxyP AP yyyy且 ：200010001TP AP 100200001,()010010001TTTQPPC Q AQCP AP C 所以222 123()2TTTfx AxyQ AA yyyy，故选(A)第 11 页 共 18 页（7 7） 【答案】(C) 【考点】 【难易度】【详解】)()(),()(ABPBPABPAP)(2)()(ABPBPAP( )( )()2P AP BP AB故选（C）（8 8） 【答案】(D) 【考点】 【难易度】 【详解】 22222225E X XYE XXYXE XE XYE XD XEXE X E YE X二、填空题二、填空题（答案）（答案）（9 9） 【答案】1 2【考点】极限的计算 【难易度】【详解】2222200001 lncosln(1 cos1)cos112limlimlimlim2xxxxxxxx xxxx （1010） 【答案】24【考点】积分的计算 【难易度】【详解】2 22 0-2sin()21 cos4xx dxxdxx（1111） 【答案】 【考点】隐函数求导 【难易度】【详解】令( , , )cos2zF x y zexyzxx，则1 sinxFyzx ，yFxz ，第 12 页 共 18 页zFxy， 又当0,1xy时，0z ， 所以(0,1)1xzFz xF ，(0,1)0yzFz yF ，因而(0,1)dzdx （1212） 【答案】1 4 【考点】三重积分的计算 【难易度】【详解】由轮换对称性，得x2y3zdxdydz 6zdxdydz 6zdz01dxdyDz其中Dz为平面zz截空间区域所得的截面，其面积为1 21z2.所以x2y3zdxdydz 6zdxdydz 6z1 21z