1998年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 30 页19981998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学( (一一) )试题试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)20112lim xxx x.(2) 设1()(),zf xyyxyfx具有二阶连续导数,则2zx y .(3) 设L为椭圆22 1,43xy其周长记为a,则22(234) Lxyxyds .(4) 设A为n阶矩阵,0A ,*A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则* 2()AE必有特征值.(5) 设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,yxxe所围成,二维随机变量(, )X Y在区域D上服从均匀分布,则(, )X Y关于X的边缘概率密度在2x 处的值为_.二、选择题二、选择题( (本题共本题共5 5小题小题, ,每小题每小题3 3分分, ,共共1515分分.).)(1) 设( )f x连续,则220()xdtf xt dtdx()(A)2()xf x(B)2()xf x(C)22()xf x(D)22()xf x(2) 函数23( )(2)f xxxxx不可导点的个数是()(A) 3(B) 2(C) 1(D) 0(3) 已知函数( )yy x在任意点x处的增量2,1y xyx 且当0x 时,是x的高阶无穷小,(0)y,则(1)y等于()(A)2(B)(C)4e (D)4e (4) 设矩阵111222333abcabcabc 是满秩的,则直线333121212xaybzc aabbcc与直线111232323xaybzc aabbcc()第 2 页 共 30 页(A) 相交于一点(B) 重合 (C) 平行但不重合(D) 异面(5) 设AB、是两个随机事件,且0( )1, ( )0, (|)(|),P AP BP B AP B A则必有()(A)(|)(|)P A BP A B(B)(|)(|)P A BP A B(C)()( ) ( )P ABP A P B(D)()( ) ( )P ABP A P B三、三、( (本题满分本题满分5 5分分) )求直线11:111xyzL在平面:210xyz 上的投影直线0L的方程,并求0L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、四、( (本题满分本题满分6 6分分) )确定常数,使在右半平面0x 上的向量42242( , )2()()A x yxy xyixxyj为某二元函数( , )u x y的梯度,并求( , )u x y.第 3 页 共 30 页五、五、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k .试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式 y= y v.六、六、( (本题满分本题满分7 7分分) )计算212222(), ()axdydzzadxdyxyz其中为下半球面222zaxy 的上侧,a为大于零的常数.七、七、( (本题满分本题满分6 6分分) )求2sinsinsinlim.111 2nnn nnnn 第 4 页 共 30 页八、八、( (本题满分本题满分5 5分分) )设正项数列 na单调减少,且1( 1)nn na发散,试问级数11()1nnna是否收敛？并说明理由.九、九、( (本题满分本题满分6 6分分) )设( )yf x是区间0,1上的任一非负连续函数.(1) 试证存在0(0,1)x ,使得在区间00,x上以0()f x为高的矩形面积,等于在区间0,1x上以( )yf x为曲边的梯形面积.(2) 又设( )f x在区间(0,1)内可导,且2 ( )( ),f xfxx 证明(1)中的0x是唯一的.十、十、( (本题满分本题满分6 6分分) )已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz,可以经过正交变换xyPz 化为椭圆柱面方程2244,求, a b的值和正交矩阵P.第 5 页 共 30 页十一、十一、( (本题满分本题满分4 4分分) )设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组0kA x 有解向量,且10kA,证明：向量组1,kAA是线性无关的.十二、十二、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 已知线性方程组11 11221,2221 12222,221 122,220,0,( )0nnnnnnnnna xa xaxa xa xaxIa xa xax 的一个基础解系为11121,221222,212,2(,) ,(,) ,(,)TTT nnnnnnbbbbbbbbb,试写出线性方程组1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnb yb ybyb yb ybyIIb yb yby 的通解,并说明理由.第 6 页 共 30 页十三、十三、( (本题满分本题满分6 6分分) )设两个随机变量,X Y相互独立,且都服从均值为0、方差为1 2的正态分布,求随机变量XY的方差.十四、十四、( (本题满分本题满分4 4分分) )从正态总体2(3.4,6 )N中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表221( )2tzzedtz1.281.6451.962.33( ) z0.9000.9500.9750.990第 7 页 共 30 页十五、十五、( (本题满分本题满分4 4分分) ) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5 分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并 给出检验过程. 附表：t分布表 ( )( )pP t ntnpp( )ptnn0.950.975351.68962.0301361.68832.0281第 8 页 共 30 页19981998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学( (一一) )试题试题参考答案及解析参考答案及解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】1 4【解析】方法方法1 1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式 20112112 lim 112xxxxxxxx 220114 lim 112xxxxxx 220211 lim4xxx 22220111 21 12lim24xxxxx .方法方法2 2：采用洛必达法则.原式02112 lim xxxx 洛 011 2 12 1lim2xxx x2011lim 41xxxxx 011lim4xxx x 011 2 12 1lim4xxx 洛011lim12 12 1 44xxx .方法方法3 3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x项,1x22 111128xxox ,1x22 211128xxox ,从而原式2222 122011111122828lim xxxoxxxoxx 222 12201 4lim xxoxoxx 1 4 .第 9 页 共 30 页(2)【答案】()()()yfxyxyyxy【分析】因为1()(),zf xyyxyfx具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求z x 或z y 均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.方法方法1 1：先求z x .211()()()()()zyf xyyxyf xyfxyyxyxx xxx ,2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().zyf xyfxyyxyx yyxx yfxy xfxyfxy xxyyxyxxxfxyfxyyfxyxyyxyxx yfxyxyyxy 方法方法2 2：先求z y .11()()()()()()()(),zf xyyxyfxy xxyyxyyyxx fxyxyyxy 22 ()()()()()().zzfxyxyyxyx yy xx yfxyxyyxy 方法方法3 3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：21()()1()()()()()()().zf xyyxyx yxyxyxfxy xyxyx xyfxyyxyxy yfxyxyyxy 评注评注：本题中, f中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时,y视为常数；对y求导时,x视为常数就可以了.(3)【答案】12a第 10 页 共 30 页【解析】L关于x轴(y轴)对称,2xy关于y(关于x)为奇函数20 Lxyds.又在L上,22 222213412(34)1212 .43LLxyxyxydsdsa 因此,原式222(34)12 LLxydsxydsa.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分, lf x y ds,设,f x y在l上连续,如果l关于y轴对称,1l为l上0x 的部分,则有结论：12, , 0,llf x y dsf x yx f x y ds f x yx 关于 为偶函数,，关于 为奇函数.类似地,如果l关于x轴对称,2l为l上0y 的部分,则有结论：22, , 0,llf x y dsf x yy f x y ds f x yy 关于 为偶函数,，关于 为奇函数.(4)【答案】2 1A【解析】方法方法1 1：设A的对应于特
