2023年考研数学(二)真题(含答案及解析)【可编辑】

门2023年考研数学二1一、选择题，110题，每题5分，共50分.1. 曲线 的斜渐近线方程为A.y=x+e C.y=x2. 函数的一个原函数为( )( )3. 已知xn,yn满足： ( )A.xn 是 yn 的高阶无穷小 B.yn 是xn 的高阶无穷小C.xn 与ya是等价无穷小 D.x与 y 是同阶但不等价的无穷小4. 若微分方程y”+ay'+by=0 的解在(-o,+) 上有界，则 ( )A.a<0.b>0 B.a>0,b>0 C.a=0.b>0 D.a =0,b<05. 设函数y=f(x) 由 确定，则 ( )A.f(x) 连续，f'(O) 不存在 B.f'(O) 存在，f'(x) 在x=0 处不连续C.f'(x) 连续，f”(0) 不存在 D.f”(0) 存在，f”(x) 在 x=0 处不连续6. 在 = o 处取得最小值，则o= ( ) D.1n 27. 设函数f(x)=(x²+a)e*, 若f(x) 没有极值点，但曲线y=f(x) 有拐点，则的取值范围是( )A.(0,1) B.(1,+o) C.(1,2) D.(2,+o)·。·"8. 设A,B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M* 为矩阵M 的伴随矩阵，则 9. 二次型 f(x,x,x)=(x+x)²+(x+x)²-4(x-x)² 的规范形为 ( )10.已知向量 若既可由 ,线性表示，也可由 , 线性表示，则 y(.) = ( ). feR kcR C. R D. AeR二、填空题，1116题，每题5分，共30分.11. 当x0 时，函数 f(x)=ax+bx²+ln(1+x) 与 g(x)=e²-cosx 是等价无穷小，则ab = 12.曲线 dt 的弧长为 13.设函数z=z(x,y) 由e²+xz=2x-y 确定，则 14.曲线3x³=y+2y³ 在x=1 对应点处的法线斜率为 .15.设连续函数 f(x) 满足则216.已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若则三、解答题，1722题，共70分.17.(本题满分10分)设曲线L:y=y(x)(x>c) 经过点(c²,0),L 上任一点 P(x,y) 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距(1)求y(x);(2)在L 上求一点，是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积.18.( 八 1 2 八 )的极值.19.(1)求 D 的面积；(2)求 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.20.(本题满分12分)设平面有界区域 D 位于第一象限，由曲线x²+y² -xy=1,x²+y²-xy =2 与直线y=3 x,y =0围成，计算 21.(本题满分12分)设函数 f(x) 在-a,a 上具有2阶连续导数.证明：(1)若f(0)=0, 则存在(-a,a), 使得 (2)若f(x) 在(-a,a) 内取得极值，则存在(-a,a),使得322.(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意x,x,x均有(1)求A;(2)求可逆矩阵 P 与对角矩阵A, 使得P-IA P=A.2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)一、选择题：110小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置. 的斜渐近线方程是( )(A)y=x+e (C)y=x (D) 【答案】 (B)所以斜渐近线方程；的原函数为( )【答案】 (D)【解析】当x0时，2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)当x>0时，f(x)dx=(x+1)cos xdx=(x+1)dsinx=(x+1)sinx-sin xdx=(x+1)sinx+cosx+C原函数在 (-o,+x)内连续，则在x=0处 , 所以C=1+C, 令C=C, 则C=1+C, 故结合选项，令C=0, 则f(x)的一个原函数为(3)设数列(x,(y.满，, 当no时( ) (A) x,是y,的高阶无穷小 (B) y,是x,的高阶无穷小(C) x,是y,的等价无穷小 (D)x,是y,的同阶但非等价无穷小【答案】(B)【解析】在 中， 故y,是x,的高阶无穷小.2; ;2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)(4)已知微分方程y'+ay'+by=0的解在(-o,+x)上有界，则a,b的取值范围为( ) (A)a<0,b>0 (B)a>0,b>0(C)a=0.b>0 (D)a=0,b<0【答案】(C)【解析】微分方程y+ay'+by=0的特征方程为x²+a+b=0,当A=a²-4b>0时，特征方程有两个不同的实根3,3, 则a,3 至少有一个不等于零，若C,C都不为零，则微分方程的解y=Ce+Ce 在(-o,+x)无界；当A=a²-4b=0时，特征方程有两个相同的实根， 若C0,则微分方程的解y=Ce÷+Cxe 在(一0,+o)无界；当A=d-40<0时，特征方程的根为此时，要使微分方程的解在(-0,+x) 有界，则a=0, 再 由A=a²-4b<0,知 b>0(5)设函数y=f(x)由确 定 ， 则 ( '(A) f(x) 连续，f(O)不存在(B) f(O)不存在， f(x)在x=0处不连续(C) f(x) 连续，f(0)不存在(D) f”(0)存在，f(x)在x=0处不连续 2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)【答案】(C)【解析】 1)当t>0 时，当t<0 时 ，所以f'(0)=0.所!, 即f'(x) 在x=0 连续.所以f”(0)不存在.(6)若函数. 在=a,处取得最小值，则a,=( )(c) 【答案】(A)(B)-In(In 2)(D)In2所以f(o)=-im2y ln2y =-m2y(tnn²)=0.即，42023年全国硕士研究生招生考试数学(二)(7)设函数f(x)=(x²+a)e, 若f(x) 没有极值点，但曲线y=f(x) 有拐点，则a 的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(1,+x)(C)(1,2) (D)(2,+x)【答案】(C)【解析】f(x)=(x²+a)e²,f'(x)=(x²+a+2x)e²,f(x)=(x²+4x+a+2)e, 由于 f(x)无极值点，所以4-4a0,即 a1;由 于f(x)有拐点，所以16-4(a+2)>0,即a<2; 综上所述ae(1,2).(8)设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M 为矩阵M 的伴随矩阵，则(A)(C)(B)(D)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知(9)二次型f(x;,xx;)=(x+x)²+(x+x,)²-4(x-x,)²的规范形为( )(A)y²+y² (B)y²-y2(C)y+y²-4y? (D)y²+y2-y【答案】(B)2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)【解析】由已知f(x,x,x)=2x²-3x²-3x²+2xX+2xX+8xX,则其对应的矩阵,得A的特征值为3,-7,0 故选(B).(10)已知向,若既可由,a 线性表示，也可由,线性表示，则y=( )(B)(D)【答案】(D)【解析】设r=x;+xQ=y+J ,则x+x -y -y =0.故(xX,y,y)=c(-3,1,-1,1),cR所以r=-c+c=c(-1,-5,-