2021年考研数学(三)真题(含答案及解析)【可编辑】

2021全国硕士研究生入学统一考试数 学 (三)(科目代码：303)一 、选择题(110小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)当x0 时 ，是x的( ).(A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小(C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小(2)函数 在 x=0 处 ( ).(A) 连续且取极大值 (B) 连续且取极小值.(C) 可导且导数为零 (D) 可导且导数不为零(3)设函数f(x)=axblnx(a>0) 有两个零点，则 的取值范围是( ).(A)(e,+) (B)(0,e)(c) (4)设函数f(x,y) 可微，且f(x+1,e)=x(x+1)²,f(x,x²)=2x²lnx, 则df(1,1)=( ).(A)dx+dy (B)dx-dy(C)dy (D)dy(5)二次型f(x,x,x)=(x+x)²+(x+x)²-(x-x)² 的正惯性指数与负惯性指数依次为( ).(A)2,0 (B)1,1 (C)2,1 (D)1,2(6)设A= ( , , ) 为4阶正交矩阵 ,k 表示任意常数，则线性方程;组 BX = 的通解X =().(A),+x+ka(B)+ka(C)+ka:(D)+a+ka。(7)已知矩阵,若存在下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q, 使 PAQ为对角矩阵，则P,Q 可以分别取( ).(A) (B),(C) (D) ,(8)设A,B 为随机事件，且0<P(B)<1, 下列命题中为假命题的是( ).(A) 若 P(A|B)=P(A), 则 P(A|B)=P(A)(B) 若 P(A|B)>P(A), 则 P(A|B)>P(A)(C) 若 P(A|B)>P(A|B), 则 P(A|B)>P(A)(D) 若 P(A|AUB)>P(A|AUB), 则 P(A)>P(B)(9)设(X,Y),(X,Y),(X,Y) 为来自总体1 )的简单随机样本，令0= - ,则( ).;,利用来自总(10)设总体 X 的概率分布为体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得的最大似然估计值为( ).(A) (B) (c) (D) 二 、填空题(1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.)(11)若y=cos e, (12) (13)设平面区域D 由曲线y=xsinx (0x 1) 与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 (14)差分方程y,=t 的通解为 y,= (15)多项式中 x³ 项的系数为 (16)甲，乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙 盒中，再从乙盒中任取一个球，令X,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系数为 三、解答题(1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17)(本题满分10分)存在，求a 的值 .(18)(本题满分12分)的极值 .(19)(本题满分12分)设有界区域 D 是圆x²+y²=1积：和直线y=x 以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重(20)(本题满分12分)设 n 为正整数，y=y,(x)是微分方程xy'-(n+1)y=0的满足条件的解.(I) 求 yn(x);()求级数 的收效域及和函数。(21)(本题满分12分)设矩阵 可逆矩阵 P, 使 P-'AP仅有两个不同的特征值，若A 相似于对角矩阵，求a,b 的值，并求为对角矩阵.(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为 X, 较长一段的长度记为Y, 令·(I) 求 X 的概率密度；()求 Z 的概率密度；()求 .2021 年数学(三)真题解析一、选择题(1)【答案】 (C).【解】 E 得为x 的高阶无穷小，应选(C).(2)【答案】 (D).【解】 因 ,所以f(x) 在x=0 处连续；0)- 号 ,应选(D).(3)【答案】 (A).【解】 因为f(x)=ax-blnx 有两个零点，所以由罗尔定理，存在c(0,+), 使得,从而b=ac>0. 令 得 ; 因为 ,所以为函数f(x)=axblnx的最小值点，最小值为又f(0+0)=+,f(+)=+,应选(A).即所以f(x)=ax-blnx 有两个零点等价于.(4)【答案】 (C).【解】 f(x+1,e²)=x(x+1) ² 两边对x 求导得f|(x+1,e²)+e²fz(x+1,e)=(x+1)²+2x(x+1),取 x=0 得 f/(1,1)+f?(1,1)=1;f(x,x²)=2 x²1nx 两边对x 求导得fí(x,x²)+2xf(x,x²)=4xlnx+2x,取 x=1 得 f(1,1)+2f?(1,1)=2,解得f(1,1)=0,f(1,1)=1, 故 df(1,1)=dy, 应选(C).(5)【答案】 (B).【解】 将二次型展开得f(x,xz,x)=2x2+2xx+2xx+2xx其矩阵为 ,由得=- 1,=0,=3,应选 (B).(6)【答案】 (D).【解】 因 为A=( , ) 为正交矩阵，所以,两两正交且为单位向量， 因为,线性无关，所以 r(B)=3<4,由 为方程组 BX =的一个特解，再 由Ba=0 得,为BX=0 的基础解系，故方程组BX= 的通解为X=+k, 应选(D).(7)【答案】 (C),(A) 不对；【解】 ( A) 选项：(B) 选项： ,(B) 不对；(C) 选项： 应选(C).(8)【答案】 (D).【 解 】 由 P(A|B)=P(A) 得 P(AB)=P(A)P(B), 即 事 件 A,B 独 立 ，由 P(A|B)>P(A) 得 P(AB)>P(A)P(B),由 P(A|B)>P(A|B) 得 , 整 理 得P(AB)>P(A)P(B),·(9)【答案】 (B).【解】 由题知，,则E()=E(X)-E(Y)=-2=0;D()=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)(10)【答案】 (A).【解】 似然函数为取对数 InL()=3ln(1-)-In8+5ln(1+)-5ln 4,由 得参数的最大似然估计值为 ,应选(A).二、填空题(11)【答案】【解】 由得(12)【答案】 6.,(13)【答案】 【解】 所求体积为(14)【答案】 :为任意常数).【解】 差分方程 y,=t 即 y+i-y,=t,因为a=-1, 所以一阶齐次差分方程 y+-y,= 0 的通解为y,=C(C 为任意常数);得,;得令yi-y,