数学一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积课件
5.3平面向量的数量积基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作 ，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .2.平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b的夹角为，则数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab.3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b).(3)(ab)c .知识梳理AOB0，|a|b|cos acbc4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论符号表示坐标表示模|a|_|a|_夹角的余弦cos _ab的充要条件_|ab|与|a|b|的关系|ab|_ab0 x1x2y1y20|a|b|两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0时，数量积也大于0.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是 .()(2)由ab0可得a0或b0.()(3)(ab)ca(bc).()(4)若ab0”是“a与b的夹角为锐角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析根据向量数量积的定义可知，若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0，所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.解析因为ABCD为矩形，建系如图.A(0,0)，M(6,3)，N(4,4).A.若ab0，则ABC为锐角三角形B.若ab0，则ABC为直角三角形C.若abcb，则ABC为等腰三角形D.若(acb)(abc)0，则ABC为直角三角形解析若ab0，则BCA是钝角，ABC是钝角三角形，A错误；所以BABC，即ABC为等腰三角形，C正确；若(acb)(abc)0，则a2(cb)2，即b2c2a22bc，即ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.7.已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.方法二(数形结合法)典题深度剖析重点多维探究题型突破平面向量数量积的基本运算题型一师生共研12解析方法一(几何法)方法二(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中m0，n0，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.思维升华SI WEI SHENG HUA解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，平面向量数量积的应用题型二多维探究命题点1求向量的模例2(1)(2020遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120，kR，则|kab|的最小值为解析|kab|2k2a22kabb2因为a和b是单位向量，且夹角为120，所以|kab|2k2a22kabb2k2|a|22k|a|b|cosa，b|b|2k2k1解析M为BC的中点，命题点2求向量的夹角例3(1)(2020昆明一中检测)已知向量a ，|b|2，且ab1，则a与b的夹角为A.30 B.45 C.60 D.90a与b的夹角为60.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若 e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.解析由题意知|e1|e2|1，e1e20，思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2(1)(2019江西省临川一中模拟)已知向量a(3,4)，b(1，k)，且ab，则a4b与a的夹角为_.解析因为ab，故ab0，所以34k0，设a4b与a的夹角为，则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，(ca)(cb)1，x2y26x2y90，即(x3)2(y1)21，点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|ca|表示点A，C的距离，平面向量与三角函数、解三角形题型三师生共研例4(2019石家庄模拟)已知向量a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，f(x)ab.(1)求函数f(x)ab的最小正周期；设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2b2c22bccos A.所以a2b2c2bc7，又sin B3sin C，所以b3c.故79c2c23c2，解得c1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.思维升华SI WEI SHENG HUA(1)求C的大小；解因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以ccos B(b2a)cos C0，在ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C，又sin A0，又c2a2b22abcosACB，所以a2b2ab12.由得ab8，课 时 精 练基础保分练123456789 10 11 12 13 14 15 161.(2019江西省临川第一中学模拟)已知向量a(2,1)，b(m，1)，且a(ab)，则m的值为A.1 B.3 C.1或3 D.4解析因为a(2,1)，b(m，1)，所以ab(2m,2)，因为a(ab)，则a(ab)2(2m)20，解得m3.故选B.123456789 10 11 12 13 14 15 16|a2b|2(a2b)2a24ab4b2123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 165.(2019东莞模拟)已知非零向量m，n满足|n|4|m|，且m(2mn)，则m，n的夹角为解析|n|4|m|，且m(2mn)，m(2mn)2m2mn2|m|2|m|n|cosm，n0，2|m|n|cosm，n0，且|m|0，|n|0，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 167.(多选)设a，b是两个非零向量.则下列命题为假命题的是A.若|ab|a|b|，则abB.若ab，则|ab|a|b|C.若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD.若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|123456789 10 11 12 13 14 15 16解析对于A，若|ab|a|b|，则|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|，得ab|a|b|0，a与b不垂直，所以A为假命题；对于B，由A解析可知，若ab，则|ab|a|b|，所以B为假命题；对于C，若|ab|a|b|，则|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|，得ab|a|b|，则cos 1，则a与b反向，因此存在实数，使得ba，所以C为真命题.123456789 10 11 12 13 14 15 16对于D，若存在实数，使得ba，则ab|a|2，|a|b|a|2，由于不能等于0，因此ab|a|b|，则|ab|a|b|，所以D不正确.故选ABD.8.(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是A.(ab)c(ca)b0 B.|a|b|ab|C.(bc)a(ac)b不与c垂直 D.(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2解析由于b，c是不共线的向量，因此(ab)c与(ca)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，ab构成三角形，因此B正确；由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选BD.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 169.(2020景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30，cma(1m)b，bc0，则m_.解析bcbma(1m)bmab(1m)b2123456789 10 11 12 13 14 15 16菱形边长为2，ABC60，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 1611.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；解因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，(2)求|ab|；解|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 1612.已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，.(1)若ab，求x的值；若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.123456789 10 11 12 13 14 15 16技能提升练123456789 10 11 12 13 14 15 16解析设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16A.当a2时，函数的值域为1,4B.a(0，)，都有f(1)1成立C.a(0，)，函数f(x)的最大值都等于4D.若f(x)在(0,1)上单调递减，则a(0，解析如图所示，建立直角坐标系.在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2，CD1，BCa(a0)，B(0,0)，A(2,0)，D(1，a)，C(0，a).(2x)2ax(axa)(a21)x2(4a2)x4(0 x1).123456789 10 11 12 13 14 15 16又f(0)4，f(1)1，f(x)maxf(0)4.由yf(x)(a21)x2(4a2)x4.可得a(0，)，都有f(1)1成立，因此B正确；由yf(x)(a21)x2(4a2)x4.123456789 10 11 12 13 14 15 16函数f(x)在0,1上单调递减，因此当x0时，函数f(x)取得最大值4.又f(0)4，f(1)1，f(x)maxf(0)4.因此C正确.f(x)在(0,1)上单调递减，故选BCD.123456789 10 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练123456789 10 11 12 13 14 15 16解设D(t,0)(0t1)，123456789 10 11 12 13 14 15 16则mn1cos2sin22sin cos 123456789 10 11 12 13 14 15 162023/10/2161谢谢观赏勤能补拙，学有成就！
