理论力学课后习题详解-第6章-刚体的简单运动

79第第7章 刚体的简单运动章 刚体的简单运动 7-1 图 7-1a 所示曲柄滑杆机构中，滑杆有 1 圆弧形滑道，其半径mm 100=R，圆心 O1在导 杆 BC 上。曲柄长 OA=100 mm，以等角速度rad/s 4=绕轴 O 转动。求导杆 BC 的运动规律以及 当轴柄与水平线间的交角为 30°时，导杆 BC 的速度和加速度。 xOARB 1OC(a) (b) 图 7-1 解解 建立坐标轴 Ox，如图 7-1b 所示。导杆上点 O1的运动可以代表导杆的运动，点 O1的运动 方程为 m 4cos20. 0cos2tRx= 对时间 t 求导得 m/s 4sin80. 0tx=& 2m/s 4cos20. 3tx=& & 当°=304t时， m/s 40. 0= xvBC& 2m/s 77. 2= xaBC& & 7-2 图 7-2 示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆 OA=1.5 m 在铅垂面内转动，杆 AB=0.8 m， A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为 0.05 m/s，杆 AB 始终铅垂。 设运动开始时，角0=。求运动过程中角与时间的关系，以及点 B 的轨迹方程。 解解 （1）求)(t AB 平移： BAvv= 令m 5 . 1=OAl，则 &lvvAB= 即 05. 0dd5 . 1=tt d301d=，ct +=301 0=t时， 0=，0=c，t301= =8 . 0sincoslxlxAB（单位：m） 点 B 轨迹方程为 5 . 1=lm 2225 . 1)8 . 0(=+BByx （单位：m） 7-3 已知搅拌机的主动齿轮O1以r/min 950=n的转速转动。 搅杆ABC用销钉A、 B与齿轮2O、3O相连， 如图 7-3 所示。 且32OOAB =，m 25. 023=BOAO， 各齿轮齿数为201=z，502=z，图 7-2 80图 7-3 图 7-4 图 7-5 503=z，求搅杆端点 C 的速度和轨迹。 解解 ABOO32为平行四边形， 搅杆 ABC 作平移， 点C 的运动参数与点 A 相同， 显然点 A 的轨迹为 1 个半径 为m 25. 03= rAO的圆。 m/s 95. 9602950 502025. 01 31 333=×××=zzAOAOv7-4 机构如图 7-4 所示，假定杆 AB 以匀速 v 运动，开始时0=。求当4=时，摇杆 OC的角速度和角加速度。 解解 依题意，在0=时，A 在 D 处。由几何关系得： lvt=tan 两边对时间 t 求导： lv=2sec&，2coslv=&， && &=sincos2 lv当4=时，杆 OC 的角速度 lv2=& （逆） 杆 OC 的角加速度 222222 222 lv lv lv=& &（顺） 7-5 如图 7-5 所示，曲柄 CB 以等角速度0绕轴 C 转动，其转动方程为t0=。滑块 B 带动摇杆 OA 绕轴 O 转动。设hOC =，rCB =。求摇杆的转动方程。 解解 （1） 曲柄和摇杆均作定轴转动。由OBC知 )(180sinsin+°=hr得 cossintanrhr = 注意到t0=，得 cossintan001trht =（2） 自 B 作直线 BD 垂直相交 CO 于 D，则 trhtr DOBD00 cossintan= 81图 7-6 图 7-7 =trht001cossintan 7-6 如图 7-6 所示，摩擦传动机构的主动轴 I 的转速为r/min 600=n。轴 I 的轮盘与轴的轮 盘接触，接触点按箭头 A 所示的方向移动。距离d的变化规律为td5100=，其中 d 以 mm 计， t 以 s 计。已知mm 50=r，mm 150=R。求： （1）以距离d表示轴 II 的角加速度； （2）当rd = 时，轮 B 边缘上 1 点的全加速度。 解解 （1）两轮接触点的速度以及切向加速度相同 rd12= 故 rad/s 5 . 010 100 30600 51005012ttdr = ()2 222 2rad/s000551000005 51000001 dd dddttt= =（2）轮 B 作定轴转动，当rd =时轮缘上 1 点的加速度可如下求得： rad/s 20112=dr2 23232rad/s 2105105=×=×=rd 222424 22 2 m/s 592mm/s 000592000401300)20()2(150=+=+=+=Ra7-7 车床的传动装置如图 7-7 所示。已知各齿轮的齿数分别为：401=z，842=z，283=z，804=z； 带动刀具的丝杠的螺距为mm 124=h。 求车刀切削工件的螺距1h。 解解 根据齿轮传动比，得 1221 zz=，32=，3443 zz=628408084314241=zzzz 故得 mm 264 1=hh 7-8 如图 7-8 所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求 纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示） 。 解解 纸盘作定轴转动，当纸盘转过rad 2时半径减小 a。设纸盘转过d角时半径增加rd，则 rad2d= 纸盘的角速度 82tr atdd2 dd=，2dda tr= （1） vrd(a) (b) 图 7-8 又vr=，两边对时间 t 求导： 0dd dd=+ tr tr 即 tr tr dd dd = （2） 式（1）代入式（2） ，得纸盘的角加速度 22222dd rav ra t= 7-9 图 7-9 所示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上，21OOAB =， 齿轮 1 和半径为2r的齿轮 2 啮合，齿轮 2 可绕 O2轴转动且和曲柄BO2没有联系。 设lBOAO=21，tbsin=， 试确定s 2 =t时，轮 2 的角速度和角加速度。 t Aa1OACB D22O22r12Dvt Dan AaAv(a) (b) 图 7-9 解解 AB 平移，所以轮 B 上与轮 2 接触点 D 处： ADvv=，tn AAADaaaa+= 因为轮 1、轮 2 啮合，所以轮 2 上点 D 速度与轮 1 上点 D 速度相同，切向加速度也相同。 tlblvAcos=&，0cos2222= t A rtlb rv22tsinlbtlblaA=& &，222t2rlb raA= 7-10 在上题图中，设机构从静止开始转动，轮 2 的角加速度为常数2。求曲柄AO1的转动规 律。 解解 轮 1、轮 2 上点 D 切向加速度相同 22traD= 83ACB平移，点A切向加速度 tt DAaa= & & laA=t即 22rl=& &，22lr=& & 积分，得 122Ctlr+=&，212 22 2CtCtlr+= 初始静止，0=t，0=&，01=C，0=，02=C 222 2tlr= 7-11 杆 AB 在铅垂方向以恒速 v 向下运动并由 B 端的小轮带着半径为 R 的圆弧 OC 绕轴 O 转动。如图 7-10a 所示。设运动开始时，4=，求此后任意瞬时 t，OC 杆的角速度和点 C 的速度。 xCO R B v(a) (b) 图 7-10 解解 2=CBO，cos2RxB= 又 RxB2)0(=，vtRxB+=2&（） 由图 7-10b，得 222 )(22221 2)2(sinRvt Rvt RxRB= sin2Rv=，sin2vRvC= 7-12 图 7-11a 所示 1 飞轮绕固定轴 O 转动,其轮缘上任 1 点的全加速度在某段运动过程中与轮 半径的交角恒为 60°,当运动开始时，其转角0等于零，角速度为0。求飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系。 Mtanaa(a) (b) 图 7-11 84解解 设轮缘上任 1 点 M 的全加速度为 a，切向加速度ra =t，法向加速度ra2 n=，如图7-11b 所示。 2 nttan=aa把 t dd=，°= 60代入上式，得 2dd60tan t=° 分离变量后，两边积分： =tt 02d3d0得 t00 31= （1） 把 t dd=代入上式进行积分 tttd31d 0 000=得 )311ln(310t= （2） 这就是飞轮的转动方程。 式（1）代入式（2） ，得 0ln31 = 于是飞轮角速度与转角的关系为 3 0e= 7-13 半径mm 100=R的圆盘绕其圆心转动，图 7-12a 所示瞬时，点 A 的速度为 mm/s 200ajv=，点 B 的切向加速度2tmm/s 150iaB=。求角速度 和角加速度 ，并进一步写出点 C 的加速度和矢量表达式。 CAxBO°45iAvt Bat Can Cayj(a) (b) 图 7-12 解解 由图 7-12b 得出 85m/s 2 . 0jvA=，RivA×= ，ji200. 01 . 0=× ，k2= ， RjaB×= ，ji1 . 0150. 0×= ，k5 . 1= )45cos45sin()45sin45cos(2tnjijiaaaCCC°°+°+°=+=RR jijijia177. 0389. 0)(225 . 11 . 0)(2221 . 02+=+××+××=C7-14 圆盘以恒定的角速度rad/s 40=绕垂直于盘面的中心轴转动，该轴在zy 面内，倾斜角43tanarc=。点 A 的矢径在图 7-13 示瞬时为mm 120160150kjir+=。求点 A 的速度和加速度的矢量表达式，并用Rv =和2 nRa =检验所得结果是否正确。 解解 （1）54cos=，53sin= rvA×= )120160150()cossin(kjikj+×+= 120- 160 150cos sin 0k j i= mm/s) 600380040008(kji+= m/s 6 . 38 .