理论力学课后习题详解-第7章-点的合成运动

86图 8-1 图 8-2 第 8 章 点的合成运动 第 8 章 点的合成运动 8-18-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动方程为 0=x， )cos(+=ktay 如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速ev向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解解 动系'''yxO固结在纸上，点 M 的相对运动 方程 tvxe'=，)cos('+=ktay 消去t得点 M 在记录纸上的轨迹方程 )'cos('e+=xvkay 8-2 8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面''yOx中运动， 运动方程为 )cos1 (40'tx=，tysin40'= 式中t以 s 计，' x和' y以 mm 计。平面''yOx又绕垂直于该平面的轴O转动，转动方程为 rad t=，式中角为动系的' x轴与定系的x轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨 迹。 解解 由点 M 的相对运动方程可改写为 tytxsin40cos140''= 上 2 式两边平方后相加， 得点 M 的相对轨迹方程 1600')40'(22=+yx 由题得点 M 的坐标变换关系式 sin'cos'yxx= cos'sin'yxy+= 将t=和相对运动方程代入，消去t得点M的绝对轨迹方程 1600)40(22=+yx 8-38-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度m/s 15a=v，并与直径成°= 60角，如图 8-3a 所示，工作轮的半径m2=R，转速r/min 30=n。为避免水流与工作轮叶片相 冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处 水流对工作轮的相对速度的大小方向。 evyavxrv°60M(a) (b) 图 8-3 解解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M，动系固结于工作轮，定系固结于机架/ 地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同） ；牵连运动为定轴转动，相对运动 与叶片曲面相切，速度分析如图8-3b所示，设为rv与' x轴的夹角。点 M 的牵连速度 87m/s 283. 6302e=×=nRv 方向与' y轴平行。由图8-3b, °=°=+°sin30)sin(90)sin(60raevvv 由前 1 等式得 )60sin(cosae+°= vv 即 °°=60cos60sintanaae vvv 把m/s 283. 6e=v及m/s 15a=v代入,解得 '4841°= 由后 1 等式得 m/s 1 .10cos30sinar=°=vv8-4 8-4 如图8-4a所示，瓦特离心调速器以角速度绕铅直轴转动。由于机器负荷的变 化，调速器重球以角速度1向外张开。如rad/s 10=，rad/s 2 . 11=，球柄长 mm 500=l，悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为mm 50=e，球柄与铅直轴间所成的交 角°= 30。求此时重球的绝对速度。 zyxOrvevavM(a) (b) 图 8-4 解解 重球为动点，动系固结于铅垂轴；牵连运动为定轴转动，相对运动为绕悬点之圆 弧摆动，且revv，绝对运动为空间曲线，如图8-4b所示。由于 m/s 3)sin(e=+=lev，m/s 6 . 01r=lv 所以 m/s 06. 32 r2 ea=+=vvv av在ev，rv决定的平面内，且 2 . 0),(taner ea=vvvv 8-5 8-5 杆 OA 长l，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如图8-5a所示。假定推杆的 速度为v， 其弯头高为a 。 求杆端 A 的速度的大小 （表示为推杆至点 O 的速度x的函数） 。 88BAvevavxvArv(a) (b) 图 8-5 解解 直角推杆上与杆 AO 接触点 B 为动点，动系固结于 AO；牵连运动为定轴转动， 绝对运动为水平直线运动，相对运动为沿杆 OA 直线运动。点 B 速度分析如图8-5b,设 OA 角速度为,则 vv =a，sinaevOBv=，sinvOB = 以 22sin axa OBa+=代入上式得 22axva += 最终得 22aaxlavlv+= 方向如图。 8-68-6 车床主轴的转速r/min 30=n，工件的直径mm 40=d，如图8-6a所示。如车 刀横向走刀速度为mm/s 10=v，求车刀对工件的相对速度。 rvavev(a) (b) 图 8-6 解 解 车刀头为动点，动系固结于工件；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线， 相对运动为螺旋曲线。点 M 的牵连速度ev垂直向下，绝对速度vv=a，相对速度rv在av与ev所决定的平面内，且设与av成角，如图8-6b所示。 mm/s 10a= vv， mm/s 83.6230 2e=ndv 所以 mm/s 6 .6383.6210222 e2 ar=+=+=vvv '5780)283. 6(tan)(tan1ae1°= vv 8-7 8-7 在图8-7a和图8-7b所示的 2 种机构中，已知mm 20021= aOO， rad/s 31=。求图示位置时杆AO2的角速度。 89avrvev °30A °3011O2O °301O2O°30A1°30evavrv(a) (b) (a1) (b1) 图 8-7 解解 （a）套筒 A 为动点，动系固结于杆AO2；绝对运动为1O绕的圆周运动，相对运动为沿AO2直线，牵连运动为绕2O定轴转动。速度分析如图8-7a1所示,由速度合成定理 reavvv+= 因为AOO21为等腰三角形，故 aOOAO=211，°=30cos22aAO，1aav =，°=30cos22eaAOv 由图8-7a1： avv230cosa a=°= 得 aa21= rad/s 5 . 121=（逆） （b）套筒 A 为动点，动系固结于杆AO1；绝对运动为绕2O圆周运动，相对运动为沿杆直线运动，牵连运动为绕1O定轴转动。速度分析如图8-7b1所示。 °=30cos212aaAOv， 111eaAOv= 由图 b1：°=°=cos30cos301e aavv 得 °=°30cos30cos21aa rad/s 2321=（逆） 8-88-8 图8-8a所示曲柄滑道机构中，曲柄长rOA=，并以等角速度绕轴O转动。 装在水平杆上的滑槽DE与水平线成°60角。求当曲柄与水平线的交角分别为°= 0， °30，°60时，杆BC的速度。 yx°60AavrvevO°30ArvavO°60Arvav°60ev°60(a) (b) (c) (d) (a) (b) 图 8-8 90解解 曲柄端点 A 为动点，动系固结于杆 BC；绝对运动为绕 O 圆周运动，相对运动为 沿滑道 DB 直线运动，牵连运动为水平直线平移。速度分析如图8-8b所示 =),(ayv, rv=a从图b得 °=°60sin)30sin(aevv 所以 rvvBC°°=60sin)30sin(e°= 0时，rvBC33=（） ； °= 30时，0=BCv °= 60时，rvBC33=（） 8-98-9 如图8-9a所示，摇杆机构的滑杆AB以等速v向上运动，初瞬时摇杆OC水平。摇杆长aOC =，距离lOD =。求当4=时点 C 的速度的大小。 vxlACyavevrvDO(a) (b) 图 8-9 解解 套筒 A 为动点，动系固结于杆 OC；绝对运动为上下直线，相对运动沿 OC 直线， 牵连运动为绕 O 定轴转动。速度分析如图8-9b所示，设杆 OC 角速度为，其转向逆时 针。由题意及几何关系可得 vv =a（1） OAv=e（2） cose avv = （3） 222tvlOA+= （4） OAl=cos （5） 式（1） ， （2） ， （4） ， （5）代入式（3） ，得 lltv lOAOAv)( cos2222+= 222ltvvla += 因 91222Cltvvlaav+= 当 4=时，ltv=，故 lvav2C= 8-108-10 平底顶杆凸轮机构如图8-10a所示，顶杆 AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕 轴 O 转动， 轴 O 位于顶杆轴线上。 工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。 该凸轮半径为 R， 偏心距eOC =，凸轮绕轴O转动的角速度为，OC 与水平线夹角。求当°= 0时， 顶杆的速度。 OCRABevavrv e(a) (b) 图 8-10 解解 （1）运动分析 轮心 C 为动点，动系固结于 AB；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行 直线，绝对运动为绕 O 圆周运动。 （2）速度分析，如图8-10b所示 av = ev + rv 方向 OC 大小 e ? ? evvvAB=cosae8-118-11 绕轴 O 转动的圆盘及直杆 OA 上均有 1 导槽，两导槽间有 1 活动销子 M 如图 8-11a所示，m 1 . 0=b。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为rad/s 91=和 rad/s 32=。求此瞬时销子 M 的速度。 1ev2ev°3011rv2rv°302avM O(a) (b) 图 8-11 解解 （1）运动分析 活动销子 M 为动点，动系固结于轮 O；牵连运动为绕 O 定轴转动，相对运动为沿 轮上导槽直线，绝对运动为平面曲线。 r1e1avvv+= （1） 活动销子 M 为动点，动系固结于杆 OA；牵连运动为绕 O 定轴转动，相对运动为 沿 OA 直线，绝对运动为平面曲线。 92r2e2avvv+= （2） 速度分析如图8-11b所示，由式（1） 、 （2）得 e1v + r1v = e2v + r2v （3） 方向 OM OM 大小 1OM ？ 2OM ？ 式（3）向e2v方向投影，得 e2r1e130cosvvv=° )(34 cos30cos30cos30 cos302121 e2e1 r1 =°°°=°=bbb vvv 式（3）向r2v方向投影，得 m/s 4 . 0)(32 2121r1r2=bvv m/s 346. 03231 . 0e2=×=v 所以 °=+=9 .40,4