理论力学课后习题详解-第10章-动量定理

147第 11 章 动量定理 第 11 章 动量定理 11-1 汽车以 36 km/h 的速度在平直道上行驶。设车轮在制动后立即停止转动。问车轮 对地面的动滑动摩擦因数f应为多大方能使汽车在制动后 6 s 停止。 解解 将汽车作为质点进行研究，制动后汽车受重力 W，地面约束反力 FN和与运动方向 相反的摩擦阻力 F 作用，以汽车运动方向为轴 Ox，如图。根据动量定理在轴 x 的投影式， 有 xOxxImvmv= 其中 m/s 10km/h 36, 0=Oxxvv fWttfFFtIx=N当 t = 6 s 时，有 s6m/s100×=×fWgW， f=0.17 11-2 跳伞者质量为 60 kg，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下 100 m 后，将降 落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经 5 s 后跳 伞者的速度减为 4.3 m/s。求阻力的大小。 解解 取跳伞者为研究对象，开伞前，他受重力 mg 作用，竖直下落，令跳 伞者自由下落 100 m 后速度为 v1，则 ()m/s 3 .44m/s 1008 . 9221=ghv 开伞后，他受重力 mg 和阻力 F 作用，如图 11-2 所示。取铅直轴 y 向下为正， 根据动量定理有 tFmgImvmvy)(12= 由题知：当 t=5 s 时，有 v2=4.3 m/s 即 5)8 . 960() 3 .443 . 4(60××=×F F = 1 068 N = 1.068 kN 11-3 如图 11-3a 所示浮动起重机举起质量 m1=2 000 kg 的重物。设起重机质量 m2=20 000 kg，杆长 OA=8 m；开始时杆与铅直位置成 60°角，水的阻力和杆重均略去不计。当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30°角时，求起重机的位移。 g1mxaxyyFg2mOA°30Oayx g1mg2mOOA°60F(a) (b) (c) 图 11-3 解解 取浮动起重机与重物为研究对象， 由于不受水平方向外力作用且系统原来静止， 故 其质心的水平坐标不变，取坐标系xyO，其中轴yO通过船体中心的初始位置。设起重机 位移为 x，船半宽为 a，由质心坐标公式得 （1）起重杆 OA 与铅直线成 60°角时， （如图 11-3c 所示） )60sin8()60sin(211211 1°+=+°=ammm mmaAOmxC （2）起重杆 OA 与铅直线成 30°角时（如图 11-3b 所示） NFvWxFm图 11-1 gmvyF图 11-2 148)30sin8()30sin(2112121 2°+=+°+=ammmxmmxmAOaxmxC 因系统质心水平坐标守恒： 21CCxx= 所以 m266. 0m 202)21 23(28 )30sin60(sin8211=+× =°°+=mmmx 故起重机位置向左移动了 0.266 m。 11-4 如图 11-4a 所示水平面上放 1 均质三棱柱 A，在其斜面上又放 1 均质三棱柱 B。两 三棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱 A 的质量为 mA三棱柱 B 质量 mB的 3 倍，其尺寸 如图 11-4a 所示。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求当三棱柱 B 沿三棱柱 A 滑下接触到 水平面时，三棱柱 A 移动的距离。 xbOdcBAgAmgBmax abd clgBm(a) (b) (c) 图 11-4 解解 取 A、B 两三棱柱组成 1 质点系为研究对象，把坐标轴 Ox 固连于水平面上，O 在 棱柱 A 左下角的初始位置。由于在水平方向无外力作用，且开始时系统处于静止，故系统 质心位置在水平方向守恒。设 A、B 两棱柱质心初始位置（如图 11-4b 所示）在 x 方向坐标 分别为 bdxacx32,321=当棱柱 B 接触水平面时，如图 11-4c 所示。两棱柱质心坐标分别为 31alclx=)3()(2baldbalx=+= 系统初始时质心坐标 )(32)32()3(BABABABACmmbmam mmbmam x+=+ = 棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标 )(3)3()(3)3()3(BABBABABABACmmbmmmalmm mmbalmalm x+=+ + = 因 CCxx= 并注意到 BAmm3= 149得 4bal= 11-5 平台车质量kg 5001=m，可沿水平轨道运动。平台车上站有 1 人，质量 kg 702=m，车与人以共同速度0v向右方运动。如人相对平台车以速度m/s 2r=v向左方跳出，不计平台车水平方向的阻力及摩擦，问平台车增加的速度为多少？ 解解 以车与人为质点系进行研究，因为质点系在水平 方向不受外力作用，见图 11-5，故系统在水平方向动量守 恒。以水平方向向右为 x 轴正向，人跳出时平台车速度为 v，则水平方向动量守恒式为： )()(r21021vvmvmvmm+=+ 代入数据解得 246. 00+= vv m/s 246. 00=vvv 11-6 如图 11-6a 所示，均质杆 AB，长 l，直立在光滑的水平面上。求它从铅直位置无 初速地倒下时，端点 A 相对图 11-6b 所示坐标系的轨迹。 ABBAxyNFCWC(a) (b) 图 11-6 解解 取均质杆 AB 为研究对象，建立图 11-6b 所示坐标系Oxy，原点 O 与杆 AB 运动初始时的点 B 重合，因为杆只受铅垂方向的重力 W 和地面约束反力NF作用，且系统开始时静止，所以杆 AB 的质心沿轴 x 坐标恒为零，即 0=Cx。 设任意时刻杆 AB 与水平 x 轴夹角为，则点 A 坐标 sin ,cos2lylx= 从点 A 坐标中消去角度，得点 A 轨迹方程 2224lyx=+（椭圆） 11-7 如图 11-7a 所示椭圆规尺 AB 的质量为 2m1，曲柄 OC 的质量为 m1，而滑块 A 和 B 的质量均为 m2。已知：OC=AC=CB=l；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕轴 O 转 动的角速度为常数。当开始时，曲柄水平向右，求此时质点系的动量。 解解 将质点系统分为 2 部分，第 1 部分为尺 AB 和滑块 A、B，由于对称其质心在点 C， 第 2 部分为曲柄 OC，其质心在 OC 的中点 C1上，根据质点系的动量计算式，有 1121)22(CCmmmvvp+= (1) 因为 vC和 vC1均垂直于曲柄 OC，故动量 p 也垂直于 OC。将 lvvCC=12 代入式(1)，得 图 11-5 150)45(221mmlp+=（方向如图 11-7b 所示） O tB1CvCvp1CAC(a) (b) 图 11-7 11-8 质量为 m1的平台 AB，放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f。质量为 m2的小车 D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为2 21bts =，其中 b 为已知常数。不计绞车的质量，求平台的加速度。 BAS Dg2mg1mrvNFvyx(a) (b) 图 11-8 解解 受力和运动分析如图 11-8b 所示 rrearraaaaaD+=+=ABbsabtsv & && &（1） ABDaaa=ra（2） FamaamABAB=1r2)( （3） gmmfF)(21+= （4） 式（1） 、 （4）代入式（3） ，得 fgbmmm mmbmmmfgammfgammbmgmmfamabmABABABAB+=+=+=+=21221221212122112)()()()()(11-9 求题 11-4 中三棱柱 A 运动的加速度及地面对三棱柱的约束力。 NFraBgBmgBm3eaAaBgBmraBNFea(a) (b) (c) 图 11-9 解解 （1）水平方向外力为零，设 A 的加速度为 aA，由图 11-9b 所示 reaaaB+= 1510)cos(33,ree =+=aamammmBABBAAaa即 cos4rBABamam=，cos4rAaa= （1） （2）块 B 受力和加速度分析如图 c。 ar方向： )cos(sinerBBaamgm= 式（1）代入上式，即 coscos4sinAaagA= 2 Acos4cossinaAag= （2） 22sin3cossin cos4cossin +=ggaA （3） (3) 图 11-9b 所示，NF方向向上 sin3rBNBBamFgmgm=+ （4） 式（3）代入式（1） ，得 2A rcos4sin4 cos4 =gaa 上式代入式（4）得 2B 2B22BBNsin312 sin334cos4sin44+=+=gmgmgmgmF 11-10 如图 11-10a 所示，质量为 m 的滑块 A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接，另 1 端固定。杆 AB 长度为 l，质量忽略不计，A 端与滑 块 A 铰接，B 端装有质量 m1，在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。 xBMAgmNFg1mO kx(a) (b) 图 11-10 解解 取滑块 A 和小球 B 组成的系统为研究对象，建立向右坐标 x，原点取在运动开始时 滑块 A 的质心上，则质心之 x 坐标为)(t= tlmmmxxmmtlxmmxxCCsin)sin(21111+=+=& && &系统质心运动定理： kxxmmC=+& & )(1xmmktlmmmx1211sin+=+& & 即 tlmmmxmmkxsin2111+=+& & 此即滑块 A 的运动微分方程。 152讨论：设0, 0, 0=xxt&，则由上述方程得滑块 A 的稳态运动规律（特解） tmmklmxpsin)(2 12 1 += 原题力矩 M 只起保证=常数的作用，实际上 M 是随变化的。 11-11 在图 11-11a 所示曲柄滑杆机构中曲柄以等角速度绕轴 O 转动。开始时，曲柄 OA 水平向右。已知：曲柄的质量为 m1，滑块 A 的质量为 m2，滑杆的质量为 m3，曲柄的质心在 OA 的中点，lOA =；滑杆的质心在点 C，而2lBC =。求： （1）机构质量中心的运动方程； （2）作用点 O 的最大水平力。 xyg1mg2mg3mNFAD yOFxOFO(a) (b) 图 11-11 解解 （1）整个系统为研究对象，建立图示直角坐标Oxy。求得系统的质心坐标 tlmmmmm mmmtlmtlm ytlmmmmmm mmmlmmmmltlmtlmtlm xCCsin)(22sinsin2co