初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算

金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 1 -第一讲第一讲 有理数的巧算有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关 概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还 要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解 决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性 1 1括号的使用括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变 运算的次序，使复杂的问题变得较简单例例 1 1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445例例 2 2 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-” ，并依次运算，所得可能 的最小非负数是多少？2 2用字母表示数用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代换 2，上述运算过 程变为(a+b)(a-b)=_ 于是我们得到了一个重要的计算公式_ 这个公式公式叫_公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的 证明过程，可直接利用该公式计算金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 2 -例 3 计算 3001×2999 的值练习 1 计算 103×97×10009 的值 练习 2 计算：练习 3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)练习 4 计算：金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 3 -3 3观察算式找规律观察算式找规律例例 4 4 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，9 5，88例例 5 5 计算 1+3+5+7+1997+1999 的值 例例 6 6 计算 1+5+52+53+599+5100的值例例 7 7 计算：金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 4 -练习一练习一 1计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；(5) 201020091 751 531 311 金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 5 -(6)1+4+7+244；(7)20003231 31 31 311 (8)9900199 9708197 5615-4213 3011-209 127-311 2某小组 20 名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，7 4，85金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 6 -第一讲第一讲 有理数的巧算答案有理数的巧算答案例例 1 1 计算下式的值：计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将 第 一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和” ，它是有理数巧算中的常用技巧例例 2 2 在数在数 1 1，2 2，3 3，19981998 前添符号前添符号“+”“+”和和“-”“-” ，并依次运算，所得可能的最，并依次运算，所得可能的最 小非负数是多少？小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在 1，2，3，1998 之前任意添加符号“+”或“-” ，不会改变和的奇偶性在 1，2，3，1998 中有 1998÷2 个 奇数，即有 999 个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小 非负数不小于 1现考虑在自然数 n，n+1，n+2，n+3 之间添加符号“+”或“-” ，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将 1，2，3，1998 每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是 1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零” ，这种方法可使计算大大简化例例 3 3 计算计算 3001×29993001×2999 的值的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例例 4 4 某班某班 2020 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 分析与解 若直接把 20 个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在 90 上下， 所以可取 90 为基准数，大于 90 的数取“正” ，小于 90 的数取“负” ，考察这 20 个数与 90 的差，这样会大大简化运算所以总分为 90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4) +0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2) =1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95例例 5 5 计算计算 1+3+5+7+1997+19991+3+5+7+1997+1999 的值的值 分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于 2；其次算式中首末 两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于 2000，于是可有如下解法解 用字母 S 表示所求算式，即 S=1+3+5+1997+1999 金苹果文化培训学校 奥数学提高班- 7 -再将 S 各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500 个 2000)=2000×500 从而有 S=500 000例例 6 6 计算计算 1+5+51+5+52 2+5+53 3+5+59999+5+5100100的值的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的 5 倍如果将和式各项都乘以 5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计 算解 设 S=1+5+52+599+5100， 所以 5S=5+52+53+5100+5101 得 4S=5101-1，例例 7 7 计算：计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而 利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于所以说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理 数巧算中很常用