考研数学二特征值与特征向量

考研数学二特征值与特征向量1. 【单项选择题】已知A是三阶矩阵，满足A2+2A=O，若|A+3E|=3，则|2A+E|=A. （江南博哥）-4B. 9.C. 16.D. -9. 正确答案：B参考解析：设是A的任一特征值，a是相应的特征向量，即Aa=a，a0，那么由A2+2A=0，有(2+2)a=0，a0，故2+2=0，2+2为0或-2。于是A+3E的特征值为3或1，|A+3E|=3，那么A的特征值只能是0，-2，-2。则2A+E的特征值：1，-3，-32. 【单项选择题】三阶矩阵A的特征值全为零，则必有A. 秩r(A)=0.B. 秩r(A)=1.C. 秩r(A)=2.D. 条件不足，不能确定. 正确答案：D参考解析：请考查下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2可见仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的3. 【单项选择题】下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是A. B. C. D. 正确答案：D参考解析：(A)是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化(B)是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化(c)是秩为1的矩阵，由|E-A|=0，知矩阵的特征值是-4，0，0对于二重根=0，由秩4. 【单项选择题】设A为n阶可逆矩阵，为A的特征值，则A*的一个特征值为()A. B. C. |A|D. |A|n-1 正确答案：B参考解析： 5. 【单项选择题】设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为1，2，又=-2为A的一个特征值，其对应的特征向量为3，下列向量中是A的特征向量的是()A. 1+3B. 33-1C. 1+22+33D. 21-32 正确答案：D参考解析：因为AX=0有非零解，所以r(A)n，故0为矩阵A的特征值，a1，a2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若a1+a3为属于特征值0的特征向量，则有A(a1+a3)=0(a1+a3)，注意到A(a1+a3)=0a1-2a3=-2a3，故-2a3=0(a1+a3)或0a1+(0+2)a3=0，因为a1，a3线性无关，所以有0=0，0+2=0，矛盾，故a1+a3不是特征向量，同理可证，3a3-a1及a1+2a2+3a3也不是特征向量，显然2a1-3a2为特征值0对应的特征向量。D正确。6. 【单项选择题】设a，为四维非零列向量，且，令A=T，则A的线性无关特征向量个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4 正确答案：C参考解析：因为，为非零向量，所以A=TO，则r(A)1，又因为r(A)=r(T)r()=1，所以r(A)=1，令AX=X，由A2X=T*T=0=2X地=0，因为r(0E-A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，C正确。7. 【单项选择题】设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则()A. A，B合同B. A，B相似C. 方程组AX=0与BX=0同解D. r(A)=r(B) 正确答案：D参考解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)8. 【单项选择题】设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()A. r(A)=r(B)B. |A|=|B|C. ABD. A，B与同一个实对称矩阵合同 正确答案：D参考解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同反之，若A，B合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)9. 【单项选择题】A. 相似且合同B. 相似不合同C. 合同不相似D. 不合同也不相似 正确答案：C参考解析：由|E-A|=0得A的特征值为1，3，-5，由|E-B|=0得B的特征值为1，1，-1，所以A与B合同但不相似，选(C)10. 【单项选择题】设A，B为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：(1)AB；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 正确答案：B参考解析：因为A，B的特征值为-2，1，1，所以|A|=|B|=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选(B)11. 【单项选择题】设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为1，2，3，令P=(32，-3，21)，则P-1AP等于()A. B. C. D. 正确答案：C参考解析：12. 【单项选择题】设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()A. 若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值B. 若r(E+A)<n，则-1一定是矩阵A的特征值C. 若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值D. 若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值 正确答案：A参考解析：若r(E+A)<n，则|E+A|=0，于是-1为A的特征值，若A的每行元素之和为-1，则A(1,1,1.1)T=-(1,1,1.1)T，根据特征值特征向量的定义，-1为A的特征值，若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=X(其中X0)，则XTAT=XT，于是XTATAX=2XTX，即(2-1)XTX=0，而XTX>0，故2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，A正确。13. 【单项选择题】设A为n阶矩阵，下列结论正确的是()A. 矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B. 若AB，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C. 若(A)=r<n，则A经过有限次初等行变换可化为D. 若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等 正确答案：D参考解析：14. 【单项选择题】A. 合同且相似B. 相似但不合同C. 合同但不相似D. 既不相似又不合同 正确答案：C参考解析：15. 【单项选择题】下列矩阵中，不能相似对角化的是()A. B. C. D. 正确答案：C参考解析：关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C)16. 【单项选择题】A. 合同且相似B. 合同但不相似C. 不合同但相似D. 不合同且不相似 正确答案：A参考解析：因为A，B都是实对称矩阵，且特征值相同，所以A与B既相似又合同，应选(A)17. 【单项选择题】A. 1/4B. 2/4C. 3/4D. 4/4 正确答案：B参考解析：值，故所求特征值为18. 【单项选择题】设4阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，3，则，r(A)=（）A. 1B. 2C. 3D. 4 正确答案：C参考解析：因实对称矩阵必相似于由特征值组成的对角矩阵，即diag(0，1，2，3)，且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0，1，2，3)=319. 【单项选择题】A. A与c相似，B与c不相似B. A与c相似，B与c相似C. A与c不相似，B与c相似D. A与c不相似，B与c不相似 正确答案：A参考解析：判别A，B与对角矩阵c是否相似，利用矩阵相似于对角矩阵的充分条件或充要条件 20. 【单项选择题】设A为3阶方阵，A的三个特征值为1，1，2，1，2，3分别为对应的三个特征向量，则（）A. 1，2，3必为2E-A的特征向量B. 1+3必为2E-A的特征向量C. 1-2必为2E-A的特征向量D. 1，2必为2E-A的特征向量，3不是2E-A的特征向量 正确答案：A参考解析：A为抽象矩阵，用定义验证 21. 【单项选择题】设A，B是n阶可逆矩阵，且A-1B-1，则下列结果 ABBAABA2B2ATBT中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 正确答案：D参考解析：利用矩阵相似的定义由BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A，知ABBA 22. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-2【解析】23. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：1【解析】因A，且=1是A的二重特征值，故=1必有2个线性无关的特征向量亦即(E-A)x=0有2个线性无关的解，从而n-r(E-A)=3-r(E-A)=2，即r(E-A)=124. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：4【解析】 设A=即25. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析： 26. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：27. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：28. 【填空题】设，为三维非零列向量，(，)=3，A=T，则A的特征值为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：因为A2=3A，令AX=X，因为A2X=2X，所有有(2-3)X=0，而X0，故A的特征值为0或者3，因为1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3，2=3=0。29. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：解得=5，a=2，b=330. 【填空题】设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，则|B-1+2E|=_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：因为|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，所以A的三个特征值为1/3，1/2，1，又A相似于B，所以B的特征值为1/3，1/2，1，从而B-1的特征值为1，2，3，则B-1+2E的特征值为3，4，5，所以|B-1+2E|=6031. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：32. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，33. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：34. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：35. 【填空题】设三阶矩阵A的特征值为2，3，若行列式|2A|=-48，则=_.请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参