考研数学一特征值与特征向量

考研数学一特征值与特征向量1. 【单项选择题】设=2是矩阵A的一个特征值，且|A|0，则(A2/3)-1有一个特征值为（）（江南博哥）A. 4/3B. 3/4C. 1/2D. 1/4 正确答案：B参考解析：(A2/3)-1=3(A-1)2，由已知A有特征值=2，故A-1的特征值1/2，(A-1)2的特征值1/4，故所求特征值为3/4。2. 【单项选择题】设4阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，3，则，r(A)=（）A. 1B. 2C. 3D. 4 正确答案：C参考解析：因实对称矩阵必相似于由特征值组成的对角矩阵，即diag(0，1，2，3)，且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0，1，2，3)=33. 【单项选择题】A. A与C相似，B与C不相似B. A与C相似，B与C相似C. A与C不相似，B与C相似D. A与C不相似，B与C不相似 正确答案：A参考解析：判别A，B与对角矩阵C是否相似，利用矩阵相似于对角矩阵的充分条件或充要条件由lE一A|=0，得A的特征值为2，2，1又 4. 【单项选择题】下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（）A.  B.  C.  D.   正确答案：D参考解析：对于D，由于 5. 【单项选择题】设矩阵A与B相似，则必有（）A. 矩阵E-A与E-B相等B. A，B同时可逆或不可逆C. A和B有相同的特征向量D. A和B均与同一个对角矩阵相似 正确答案：B参考解析： 由AB，知|A|=|B|，故|A|=|B|0或|A|=|B|=0，即A，B同时可逆或不可逆6. 【单项选择题】满足（）A. r1<r2<r3B. r2<r3<r1C. r3<r1<r2D. r1<r3<r2 正确答案：D参考解析：由于A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵又 7. 【单项选择题】A.  B.  C.  D.   正确答案：C参考解析：8. 【单项选择题】A.  B.  C.  D.   正确答案：A参考解析： 9. 【单项选择题】A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 正确答案：C参考解析：10. 【单项选择题】A. B. C. D. 正确答案：B参考解析：11. 【单项选择题】设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是A. 若是AT的特征向量，那么是A的特征向量B. 若是A*的特征向量，那么是A的特征向量C. 若是A2的特征向量，那么是A的特征向量D. 若是2A的特征向量，那么是A的特征向量 正确答案：D参考解析：若是2A的特征向量即(2A)=012. 【单项选择题】设A是三阶矩阵，特征值是2，2，-51，2是A关于=2的线性无关的特征向量，3是A对应于=-5的特征向量若，则P不能是A. 2，-1，3B. 1+2，51，23C. 1+2，1-2，3D. 1+2，2+3，3 正确答案：D参考解析：13. 【单项选择题】设A是n阶矩阵，下列结论正确的是()A. A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B. r(A)<n，r(B)<n的充分必要条件是r(AB)<nC. AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D. AB的充分必要条件是E-AE-B 正确答案：D参考解析：若AB，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，于是P-1(E-A)P=E-P-1AP=E-B，即E-AE-B，反之，若E-AE-B，即存在可逆矩阵P，使得P-1(E-A)P=E-B，整理得E-P-1AP=E-B，即P-1AP=B，即AB，D正确。14. 【单项选择题】设A为n阶可逆矩阵，为A的特征值，则A*的一个特征值为()A. B. C. |A|D. |A|n-1 正确答案：B参考解析：15. 【单项选择题】设三阶矩阵A的特征值为1=-1，2=0，3=1，则下列结论不正确的是()A. 矩阵A不可逆B. 矩阵A的迹为零C. 特征值-1，1对应的特征向量正交D. 方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量 正确答案：C参考解析：由1=-1，2=0，3=1得|A|=0，则r(A)<3，即A不可逆，(A)正确；又1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C)16. 【单项选择题】设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是()A. 矩阵A与单位矩阵E合同B. 矩阵A的特征值都是实数C. 存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D. 存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵 正确答案：A参考解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)17. 【单项选择题】设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则()A. A的n个特征值都是单值B. A是可逆矩阵C. A存在n个线性无关的特征向量D. A一定为n阶实对称矩阵 正确答案：C参考解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)18. 【单项选择题】设A，B为n阶可逆矩阵，则()A. 存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵B. 存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵C. 存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵D. 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B 正确答案：D参考解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D)19. 【单项选择题】A. 6B. 7C. 5D. 4 正确答案：A参考解析：由矩阵B的特征多项式20. 【单项选择题】已知3阶实对称矩阵A的特征值为1=-1，2=3=1，1=0，1，1T为对应于1=-1的特征向量，是3维列向量记W1：是对应于2=3=1的特征向量；W2：非零且与1正交，则W1是W2的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 正确答案：C参考解析：21. 【单项选择题】设A=1，2，3，1，2，3为线性无关的3维列向量，P为3阶矩阵，且PA=-1，-22，-33，则|P-E|=()A. 6B. -6C. 24D. -24 正确答案：D参考解析：22. 【单项选择题】设A为3阶实对称矩阵，将A的第1行元素乘2得到矩阵B，再将矩阵B的第1列元素乘2得到矩阵C，若矩阵A可逆，则矩阵A-1与矩阵C-1()A. 合同但不相似B. 相似但不合同C. 合同且相似D. 不合同也不相似 正确答案：A参考解析：23. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-1 【解析】 24. 【填空题】设n阶方阵B=AA*，则B的特征值为_，特征向量为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：|A|，所有n维非零列向量【解析】由|E-B|=|E-AA*|=|E-|A|E|=|(-|A|E)E|=0，知B的特征值为=|A|，由(|A|E-B)x=(|A|E-|A|E)x=0，可知所有n维非零列向量均为特征向量。25. 【填空题】设方阵A满足A2+2A+E=0，则A有特征值_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-1【解析】设是A的任一个特征值，a0为对应的特征向量，则Aa=a，故(A2+2A+E)a=A2a+2Aa+a=2a+2a+a=(2+2+1)a=0，由a0知2+2+1=0，故=-1 26. 【填空题】设3阶矩阵A的特征值为0，1，2B=A3-2A2，则r(B)=_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：1【解析】  27. 【填空题】(1)设A是3阶方阵，为3维列向量，P=(，A，A2)为可逆矩阵，B=P-1AP，且 A3+2A2=3A，则|A+E|=_.请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-4【解析】  28. 【填空题】设A3×3是秩为1的实对称矩阵，1=2是A的一个特征值，对应的特征向量为1=(-1，1，1)T，则方程组Ax=0的基础解系为请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：2=(1，1，0)T，3=(1，0，1)T【解析】 29. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：192【解析】30. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：4【解析】 基础考题，由特征多项式31. 【填空题】的逆矩阵的特征向量，那么在矩阵A中对应的特征值是_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-5【分析】设a是矩阵A-1属于特征值0的特征向量，按定义有A-1=0，于是=0A即32. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：k(0，2，1)T，k0【解析】 由特征多项式33. 【填空题】已知A是三阶实对称矩阵，特征值是1，3，-2，其中1=(1，2，-2)T，2=(4，-1，a)T分别是属于特征值=1与=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值=-2的特征向量是_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】34. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：35. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：解得=5，a=2，b=336. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考