考研数学一常微分方程

考研数学一常微分方程1. 【单项选择题】A. x2+y2=C2B. x2-y2=C2C. x2+y2=CD. x2-y2=C 正确答案：A参考解析：2. 【单项选择题】微分方程y”+2y'-3y=e-x+x的一个特解形式为（）A. ae-x+bx+cB. axe-x+x(bx+c)C. axe-x+bx+cD. aex+x(bx+c) 正确答案：A参考解析：3. 【单项选择题】下列方程中，以y=C1ex+C2cosx+C3sinx(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（）A. y'''-y''+y'-y=0B. y'''+y''+y'-y=0C. y'''+y''-y'-y=0D. y'''-y''-y'-y=0 正确答案：A参考解析：由通解y=C1ex+C2cosx+C3sinx，知其特征根为r1=1，r2=i，r3=-i，故对应的特征方程为(r-1)(r2+1)=0，即r3-r2+r-1=0，故对应的微分方程为y'''-y''+y'-y=0，A正确。 4. 【单项选择题】若二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0的通解为y=C1ex+C2xex，则非齐次微分方程y"+py'+qy=x满足y(0)=2，y(0)=0的特解为y=（）A. xex-x-2B. xex-x+2C. -xex+x+2D. -xex-x+2 正确答案：C参考解析：y由齐次微分方程通解为y=C1ex+C2xex，知对应特征方程的根为r1=r2=1，其特征方程为(r-1)2=0，即r2-2r+1=0，故p=-2，q=1，所以非齐次微分方程为y"-2y'+y=x   令特解y*=ax+b，代入上式，得-2a+ax+b=x，解得a=1，b=2，故的通解为y=C1ex+C2xex+x+2。由y(0)=2，y'(0)=0，得C1=0，C2=-1，故y=-xex+x+2，C正确。  5. 【单项选择题】A. xy'-ylny=x2yB. xy'+ylny=xy2C. xy'-ylny2=xyD. xy'+ylny=xy 正确答案：A参考解析： 6. 【单项选择题】设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y+P(x)y=Q(x)的两个解，若常数，使得y1+y2是该方程的解，y1-y2是对应的齐次微分方程的解，则（）A.  B.  C.  D.   正确答案：B参考解析：  7. 【单项选择题】A. y=(x2-4x+5)B. y=(x2-3x+4)C. y=-x2+x+1D. y=x2-3x+3 正确答案：A参考解析：8. 【单项选择题】设1(x)，2(x)为一阶非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（）A. C1(x)+2(x)B. C1(x)-2(x)C. C1(x)-2(x)+2(x)D. 1(x)-2(x)+C2(x) 正确答案：C参考解析：因为1(x)，2(x)为方程y'+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)-2(x)为方程y'+P(x)y=0的一个解，于是方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)-2(x)+2(x)，选C9. 【单项选择题】二阶常系数非齐次线性微分方程y''-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为（）A. (ax+b)e-xB. x2e-xC. x2(ax+b)e-xD. x(ax+b)e-x 正确答案：D参考解析：方程y''-2y'-3y=(2x+1)e-x的特征方程为2-2-3=0，特征值为1=-1，2=3，故方程y''-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，D正确。10. 【单项选择题】设曲线y=y(x)是方程y''-y=ex+4cosx的解，且其在点(0，1)处与抛物线y=x2-x+1相切，则y=()A. B. C. D. 正确答案：D参考解析：第一步，先求方程的通解11. 【填空题】微分方程(1+y2)dx+(2x-1)ydy=0的通解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：(2x-1)(1+y2)=C(C为任意常数)【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】14. 【填空题】方程y''+2y'+y=xex满足y(0)=0，y'(0)=0的特解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】15. 【填空题】方程y''-3y'+2y=10e-xsinx满足当x+时，y(x)0的特解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】15. 【填空题】方程y''-3y'+2y=10e-xsinx满足当x+时，y(x)0的特解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】16. 【填空题】方程(1-x2)y”-xy'=0满足y(0)=0，y'(0)=1的特解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：暂无解析17. 【填空题】设二阶线性非齐次微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)有三个特解为x，ex，e-x,则该方程的通解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：y=arcsinx(-1<x<1)【解析】18. 【填空题】设二阶常系数线性微分方程y”+ay+by=cex有特解y*=e-x(1+xe2x)，则该方程的通解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：意常数)19. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】 原方程不是可分离变量方程，不是线性微分方程，也不是齐次微分方程，需要变形 20. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】  21. 【填空题】微分方程y''-y=sinx的通解为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】  22. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】23. 【填空题】设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：由题意得y(0)=0，y'(0)=2，23. 【填空题】设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：由题意得y(0)=0，y'(0)=2，24. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】此为伯努利方程，按伯努利方程的标准解法解之，由25. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：，其中C为任意常数【解析】原方程化为26. 【解答题】求x2y''-y'2=0过点P(1，0)，且在点P与y=x-1相切的积分曲线请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：27. 【解答题】 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：28. 【解答题】设f(x)可导，对任何实数x，y满足f(x+y)=exf(y)+eyf(x)，且(0)=e，求f(x)请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：由已知条件f(0)=0，由导数定义，有29. 【解答题】 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：已知方程为不显含x的可降阶的二阶方程30. 【解答题】求微分方程=0的一条积分盐线，使此积分曲线在原点处有拐点，且以直线y=2x为切线 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：31. 【解答题】设f(u)有二阶连续导数，求z的表达式请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：32. 【解答题】利用变换u=ex，求微分方程y”-(2ex+1)y'+e2xy=e3x的通解请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：33. 【解答题】 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：   34. 【解答题】设f(x)有二阶连续导数，且f(1)=1，(1)=2，求u(x，y)，使得du=-6yf(x)dx+x2(x)-4xf(x)dy 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：  35. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：  36. 【解答题】设二阶常系数非齐次线性微分方程y''+ay'+by=(cx+d)e2x有特解y=2ex+(x2-1)e2x，求该方程的通解，并求a，b，c，d的值请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析： 37. 【解答题】 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：  38. 【解答题】设y=y(x)是向上凸的连续曲线，其上任一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程 请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：  39. 【解答题】() () 解在0，+)上有界请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：()  40. 【解答题】设环境保持恒定温度20，有一物体的温度在10秒内从100降到60，若物体温度下降的速度与该物体与环境温度之差成正比，问此物体从100降到25需要多少时间?请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析： 41. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：42. 【解答题】飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m/s)，飞机与地面的摩擦系数为，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg·s2/m2)，在垂直方向的比例系数为ky(k