2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试卷真题

12023 年北京预赛一试前 8 题每题 8 分，第 9 题 16 分，第 10、11 题每题 20 分1.如图，ACB=90，AC=BC，AD CE，BE CE，垂足分别是 D,E已知 AD=8，BE=3，则 DE=2.S 是集合 1,2,2023 的子集，满足任意两个元素的平方和不是 9 的倍数，则|S|的最大值是（这里|S|表示 S 的元素个数）3.已知函数 f(x)=sinx+sin2x，其中 N+，2023若 f(x)2 恒成立，则满足题设的常数 的个数为4.已知集合 A=1,2,3，映射 f：A A，且满足对任意 x A，有 f(f(x)x，则这样的 f有个5.已知向量|a|=1，|b|=2，且a，b 的夹角为 120若a+tb 与 ta+b 的夹角为锐角，则t 的取值范围是6.设实数 x,y 满足x3 3x2+2026x=2023y3+6y2+2035y=4053，则 x+y=7.已知在 ABC 中，a=2b，cosB=223，则 sinA B2+sinC2=8.使得 n2+2023n 为完全平方数的正整数 n 的最小值是9.已知 a,b 为正整数，a 0，求证：nXi=1ai1ainXi=1ai1+ai+1ai+ai+1+1,其中 a0=an，an+1=a1二、（40 分）如图，ABC 为给定的锐角三角形，其内切圆 分别与边 AB,AC 切于点 K,L高 AH 分别与 ABC,ACB 的平分线交于点 P,Q设 1,2分别为 KPB,LQC 的外接圆，AH 的中点在 1,2外求证：从 AH 的中点引向 1和 2的切线长相等三、（50 分）某校举办数学文化节，据统计当天共有 980 多（不少于 980，小于 990）名同学进校参观，每位同学进校参观段时间后离开（之后不会再进来）若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到 k 位同学，使得要么这 k 位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观求 k 的最大值四、（50 分）求所有的正整数 k 100，使得存在整数 n，满足 3n6+26n4+33n2+1 为 k 的倍数4