2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试卷真题

62023 年内蒙古预赛一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分）1.若 a 0，b 0，且 a+2b=6，则 lna+2lnb 的最大值为2.x,y R，且满足(x+1)35+2023(x+1)=2023(y+1)35+2023(y+1)=2023，则 x+y=3.设 a,b,c 满足 a+b+c=a3+b3+c3=0，n 为任意实数，则 a2n+1+b2n+1+c2n+1=4.设 a1,a2,an,满足 a1=a2=1，a3=2，求对于任意的 n N，都有 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则2023Xi=1ai=5.tan9 tan29 tan49=6.设 A、B 为函数 f(x)=3x2的图象上在 y 轴两侧的点，则 f(x)在 A、B 两点的切线与 x 轴围成的区域面积的最小值为7.log4(x+2y)+log4(x 2y)=1，则|x|y|的最小值为8.将 8 个半径为 2 的球分两层放置于个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的个底面和侧面都相切，则圆柱的高为1362023 年内蒙古预赛二、解答题（本题满分 56 分）9.（16 分）设 A、B 为椭圆x24+y23=1 上不同的两个点，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 P(m,0)，Q(0,n)，（m=a，m=0），（n=b，n=0）若 M 是直线 y=3n上任意点，且直线 MA、MQ、MB 的斜率存在且都不等于 0试问：直线 MA、MQ、MB 斜率的倒数能否排成等差数列？若能，请给出证明；若不能，请说明理由10.（20 分）某城市采用摇号买车的方式，有 30 万人摇号，每个月有 3 万个名额(1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有 3 万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间？(2)在（1）的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第个月摇上的概率为111，第二个月摇上的概率为110，第三个月摇上的概率为19，则平均每个人摇上号需要多长时间？11.（20 分）求所有满足xy+uv 为有理数，且?x9y4?=?u3v12?=uv xy 的正整数组(x,y,u,v)14