2023年全国高中数学联赛新疆赛区预赛试卷真题

102023 年新疆预赛一、填空题（每小题 8 分，共计 64 分）1.对于数列 an，记 bn=an+1an，则数列 bn 为数列 an 的阶差数列，记 cn=bn+1bn，则数列 cn 为数列 an 的二阶差数列以此类推，可得到数列 an 的 p 阶差数列若 an的 p 阶差数列是非零常数列，则称数列 an 为 p 阶等差数列已知数列 an 是二阶等差数列，a10=23,a20=23，且二阶差数列 cn 中，cn=20，则 a30=2.在 ABC 中，M,N 分别是线段 AB,AC 上的点，且 AM=12AB，AN=13AC，E,F,G 是线段 BC 上的三个动点，且 AE+AF+AG=x AM+y AN（x,y R），则2x+3y的最小值是3.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD，PA=PB=2，AD=6，点 M,N 分别在棱 AB,BC 上 当空间四边形 PMND 的周长最小时，二面角 P MND的余弦值为4.若对任意的 x (0,+)，不等式 aeaex+a ln(ex+1)恒成立，则 a 的取值范围是5.函数 f(x)=x416+x22+1+x416 4x+8 的最小值为6.在 ABC 中，a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 对应的三边，若 7b2+25c225a2=0 试求 AC取得最大值时，sin(2A C)=7.已知非零数列 an 满足 a1=1，a2=3，an(an+21)=an+1(an+11)，n N则 C02023a1+C12023a2+C22023a3+C20232023a2024的值为（用整数指数幂表示）8.设 A 是任意个 7 元实数集合，令集合 B=xy|x,y A 且 x=y，记集合 B 中元素个数为|B|，则|B|max+|B|min=21102023 年新疆预赛二、解答题（第 9 题满分 16 分，第 10 题、第 11 题满分 20 分，共计 56 分）9.已知向量a=(sinx,2cosx)，b=(3cosx sinx,cosx)，函数 f(x)=2a b 1(1)若方程 f2(x)(m+3)f(x)+3m=0 在 0,上有四个不同的实数根，求 m 的值(2)是否同时存在实数 a 和正整数 n，使得函数 h(x)=f(x)a 在区间 0,n 上恰有 2023 个零点？若存在，请求出所有符合条件的 a 和 n 的值；若不存在，请说明理由10.已知椭圆 C：y2a2+x2b2=1（a b 0）的离心率为12，上下焦点为 F1,F2，右顶点为 D过F1做垂直于 DF2的直线交椭圆 C 于 A,B 两点，且|BD|AF1|=8339(1)求|AD|+|BD|的值(2)过 A,B 做椭圆 C 的两条切线交于点 E，若 F1E 交 x 轴于 P，F2E 交 x 轴于 Q，求|PQ|的值11.设 a0,a1,a2,是个无限实数列，满足不等式an1+an+12 an对切正整数 n 都成立，证明：a0+an+12a1+a2+ann22