2023年暑假期间全国高中数学联赛一试模拟试题

第 1 页 共 2 页2023 年暑假全国高中数学联赛一试模拟试题 1考试时间：80 分钟满分 120 分一、填空题（一、填空题（6464 分，每小题分，每小题 8 8 分）分）1.2021 22021 20202021=_.2.一个醉汉在一条直线上行走,他往右走一步的概率为13,往右走两步的概率为13,往左走一步的概率为13.若初始时悬崖位于他的右方步,则他坠落悬崖(与悬崖的距离为 0 时)的概率为_.3.不等式cos sin()的解集为_.4.从集合1,2,3,20中任取4个不同的数,使这4个数成等差数列.这样的数列共有_个.5.随机排列这 7 个字母,则任意两个相邻的字母都不相同的概率为_.6.3333在十进制中的末尾两位数为_.7.平设表示不超过实数的最大整数.则集合|=22021,1 2021,的元素个数为_.8.棱长为的正四面体中,一平行于平面的平面交,于1,1,1,平面上有一点1,则四面体1111体积的最大值为_.二、二、解答题（解答题（5656 分，第分，第 9 9 题题 1616 分，第分，第 1010、1111 题题 2020 分）分）9.将数 1,2,3,101 按某一次序排成一列.证明:总可以划去这数列中的 90 个数,使得剩下的11 个数是按照递增的次序排成的或是按照递减的次序排成的.第 2 页 共 2 页10.设是整数集的有限子集.定义+=+,;=,.直观上,我们会认为 +,因为 ,但+.但也有例外:=0,2,3,4,7,11,12,14.(这里 X 代表集合 X 中的元素个数)(i)分别计算 +与 (ii)试证明对任意正实数,存在整数集的有限子集,使得 +|.11.已知抛物线2=2,0.其焦点为,试问:是否存在过点的弦(,均在抛物线上,且在第一象限内),以及轴正半轴上的一点,使得,三点构成一个以为直角顶点的等腰直角三角形?若答案是肯定的,请求出直线的方程.若答案是否定的,请说明理由.