数学建模与数学实验：企业生产销售和利润优化问题研究
数学建模与数学建模与数学数学实验实验：企业生产销售和利润优化企业生产销售和利润优化问题问题研究研究 解决问题解决问题 1.发动机的生产和销售优化 2.企业生产利润优化 3.飞机轰炸优化模型 问题问题 1 1：发动机的生产销售优化发动机的生产销售优化 某工厂向用户提供发动机，按照合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40 台，第二季度末交 60 台，第三季度末交 80 台。工厂的最大生产能力为每季 100 台，每季的生产费用是2()500.2f xxx（元），此处的x为该季生产发动机的台数。若工厂生产的多，多余的发动机可以移到下季向用户交货，这样工厂就需要支付存贮费，每台发动机每季的存贮费用是 4 元。问该厂每季应生产多少台发动机，才能即满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少？假定第一季度开始时发动机没有存货。问题分析问题分析 考虑到存贮费用对生产成本的影响，应尽可能的使生产成本最小，即需要减少存贮费用，该月的生产应该尽可能的满足该月的需要。不要多生产以减少存贮费用。问题假设问题假设 （1）第一季度开始的时候发动机没有存货；（2）各月均必须按时按量交货，不考虑不能准时交货时所支付的违约金；（3）第三季度的货物必须恰好够交货，不考虑存货到下一个季度。其中其中 ix：第i个季度发动机的生产数量；（i=1,2,3）if：第i个季度发动机的生产费用；（i=1,2,3）ig：第i个季度的存贮费用；（i=1,2,3）S：总的生产成本；f：总的生产费用；g：总的存贮费用；模型模型建立建立 生产成本=生产费用+存贮费用，即Sfg 其中总的生产费用：3332111500.2iiiiiiffxx 总的存贮费用：其中根据假设（1）可以知道10g 所以 3231121214(40)4(4060)4(2140)iiggggxxxxx 则总的生产成本：3321211222123123 500.284560 0.20.20.2585450560iiiiSfgxxxxxxxxxx 可建立如下的优化模型：222123123123112123min 0.20.20.258545056010010010040 1001800 (1,2,3)iiSxxxxxxxxxxsubject toxxxxxxix 并且要求 为整数 从模型当中我们可以发现这个问题实际上是一个很典型的整数二次规划问题。对此问题的求解我们也可以首先求出其一般二次规划问题的解,在其解不是整数时,对解进行修正,得到符合要求的整数解.首先将以上模型化成二次规划问题的标准型，如下：令：2221231235600.20.20.2585450SSxxxxxx 123xxxx 1000.4010001H 585450c 100110111A ，40100180b ，000vlb ，100100100vub 从而得到该问题的标准形式：1min2 TTSX HXc XAXbsubject tovlbXvub 模型模型程序程序 function x,s=erciguihua H=0.4*eye(3);c=58;54;50;A=-1 0 0;-1-1 0;-1-1-1;b=-40;-100;-180;Aeq=;beq=;vlb=zeros(3,1);vub=100*ones(3,1);xx,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)x=xx s=z-560 运行运行结果结果 第一季度生产发动机的数量为 50 台;第二季度生产发动机的数量为 60 台;第三季度生产发动机的数量为 70 台;最少的生产成本为:11280 元 并且该结果恰好为整数解,所以不需要进行修改.问题问题 2 2：企业生产利润最大化：企业生产利润最大化 某厂生产三种产品 I，II，III。每种产品要经过 A，B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以1A，2A表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以1B，2B，3B表示。产品 I 可以在 A，B 的任何一种规格的设备上加工。产品 II 可以在任何规格的 A 设备上加工，但是完成 B 工序时，只能在1B设备上进行加工；产品 III 只能在2A和2B的设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。设备 产品 设备有效台时 满负荷时的设备费用（元）I II III 1A 5 10 6000 300 2A 7 9 12 10000 321 1B 6 8 4000 250 2B 4 11 7000 783 3B 7 4000 200 原料费（元/件）025 035 050 单价（元/件）125 200 28 其中其中 11x：在设备1A上生产产品 I 的数量；21x：在设备2A上生产产品 I 的数量；11y：在设备1B上生产产品 I 的数量；21y：在设备2B上生产产品 I 的数量；31y：在设备3B上生产产品 I 的数量；12x：在设备1A上生产产品 II 的数量；22x：在设备2A上生产产品 II 的数量；12y：在设备1B上生产产品 II 的数量；22y：在设备2B上生产产品 II 的数量；32y：在设备3B上生产产品 II 的数量；13x：在设备1A上生产产品 III 的数量；23x：在设备2A上生产产品 III 的数量；13y：在设备1B上生产产品 III 的数量；23y：在设备2B上生产产品 III 的数量；33y：在设备3B上生产产品 III 的数量；ix：生产产品i的数量；（i=I，II，III）iS：产品i的销售总额；（i=I，II，III）ia：产品i的销售单价；（i=I，II，III）S：总的销售费用；L：总的原料费；iL：产品i的原料费用；（i=I，II，III）ib：产品i的原料单价；（i=I，II，III）P：A 种机床设备的总费用；Q：B 种机床设备的总费用；J：机床设备的总费用；iP：iA种机床设备的总费用；（i=1，2）iQ：iB种机床设备的总费用；（i=1，2，3）Z：总利润 问题问题假设假设 （1）每种产品都应该配套生产，否则会造成资源的浪费；（2）对设备的费用，我们采用按比例计算的原则，即根据该设备所用的实际时间占总共可用的时间的比例来计算价钱；模型模型建立建立 由题目中的要求我们可以知道：22320yy，因为产品 II 不可以在设备2B和设备3B上进行生产；并且有1313330 xyy，因为产品 III 只可以在设备2A和设备2B上进行生产。由假设（1）我们可以得到：2311 (j=1,2,3)jijijiixxy 11121112131212221232323xxxyyyxxxyxxy 总利润：Z=销售费用生产成本=()SLJ 总的销售费用：33123111.2522.8iiiiiSSa xxxx 总的生产成本=原料费用+机床设备的费用 总的原料费用：33123110.250.350.5iiiiiLLb xxxx 总的机床设备的费用：JP Q 其中 A 种机床设备费用：211122122231300321(510)(7912)600010000iiPPxxxxx B 种机床设备费用：311122123311250783200(68)(411)(7)400070004000iiQQyyyyy 则总的利润：12311122122231112212331()=1.652.3 =0.751.150.77531.36111.91487838613 0.3750.50.3517507000ZSLJxxxPQxxxxxyyyyy 为了使该厂的利润达到最大，目标函数为：ZMax 约束条件，应该是使设备的所有工作时间不超过最大的要求工作时间，建立如下的约束模型：112111213112221223231112212223212331 Z0005106000791210000subject to 4117000740000 (1,2;1,2,3)0 (1,2;1,2,3)ijijijijMaxxxyyyxxyxyxxxxxyyyxijyijxy并且要求和均为整数 该问题是一个很典型的整数线性规划问题，我们先考虑求非整数的线性规划问题得到一组初始解.先将该问题转化为线性规划问题的标准形，如下：ZZ，目标函数转化为：min Z 令 11122122231112212331()Xxxxxxyyyyy 7838613(0.75 1.15 0.7753 1.3611 1.9148 -0.375 -0.5 -0.35)17507000c 5 10 0 0 0 0 0 0 0 00 0 7 9 12 0 0 0 0 00 0 0 0 0 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 11 00 0 0 0 0 0 0 0 0 7A 6000100004000 70004000b 1 0 1 0 0 -1 0 -1 0 -10 1 0 1 0 0 -1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 -1 0Aeq 000 beq(10,1)vlbzeros vub 从而该问题的标准型为：min ZAXbsubject to Aeq XbeqvlbXvub 编程编程程序程序 function x,fval=xxguihua c=-0.75 1.15 0.7753 1.3611 1.9148-0.375 -0.5-(783/1750)-(8613/7000)-0.35;A=5 10 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 7 9 12 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 6 8 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 4 11 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 7;b=6000;10000;4000;7000;4000;Aeq=1 0 1 0 0-1 0-1 0-1;0 1 0 1 0 0-1 0 0 0;0 0 0 0 1 0 0 0-1 0;beq=zeros(3,1);vlb=zeros(10,1);vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)最后的工作方案为最后的工作方案为:设备 产品 I II III 1A 1200 0 2A 230 500 324.1 1B 0 500 2B 858.6 324.1 3B 571.4 得到的总的最大利润为:1146.6 元 并且由表中的数据我们知道该组数据并非最优解,因为在该工作方案中不能保证所有的数据均是整数.所以我们需要对该问题的解进行修正.我们可以采用运筹当中所学的整数规划问题对解进行修正，在此处不再给出具体的解。问题问题 3 3：飞机轰炸优化模型飞机轰炸优化模型 某战略轰炸机群奉命摧毁敌人的军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中的一个即可达到目的。为完成此项任务的飞机汽油消耗量限制为 48000 升，重型炸弹48 枚，轻型炸弹 32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可以飞行 2 千米，带轻型炸弹时可以飞行 3 千米。又知道每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可以飞行4千米）外，起飞和降落每次各消耗100升。有关数据如下表所示：要害部位 离机场距离（千米）摧毁可能性 每枚重型炸弹 每枚轻型炸弹 1 450 010 008 2 480 020 016 3 540 015 012 4 600 025 020 为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应该如何确定飞机轰炸的方案，要求建立这个问题的线性规划模型。问题假设问题假设 （1）飞机的数量不受限制，有足够数量的飞机来供调遣；（2）在攻击敌人目标的过程中，自己的飞机肯定也会反过来受到敌方飞机的攻击，可能造成炸弹还没有投出就先被击落了。但在此问题中，对此种损失情况不予考虑，即认为所有派出的飞机都能按照计划将炸弹投出。（3）飞机对油的消耗情况，在出发时按照携带炸弹来计算，回程按照空载计算。（4）飞机在攻击完目标后直接回来，中间不再任何地方停留或
