2018年高考理科数学第一轮复习教案44 直线、平面平行的判定及其性质

第四节 直线、平面平行的判定及其性质平行的判定与性质(1)理解空间直线和平面位置关系的定义(2)了解直线和平面的位置关系(3)掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理知识点一 直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件与平面无公共点a_，b_，abaa，a，_b结论,abaab易误提醒 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误(2)一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面自测练习1若直线 a 不平行于平面 ，则下列结论正确的是( )A 内的所有直线都与直线 a 异面B 内可能存在与 a 平行的直线C 内的直线都与 a 相交D直线 a 与平面 没有公共点解析：直线 a 与 不平行，则直线 a 在 内或与 相交，当直线a 在平面 内时，在 内存在与 a 平行的直线，B 正确答案：B2对于直线 m，n 和平面 ，若 n，则“mn”是“m”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当 mn 时，m 或 m，当 m 时，m 与 n 可能平行也可能为异面直线答案：D知识点二 平面与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件,Error!Error!Error!结论,aba易误提醒 (1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行(2)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题必记结论 平面与平面平行的几个有用性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行自测练习3已知 m，n 是两条不同的直线， 为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 mn，m，则 nB若 mn，m，n，则 C若 ，则 D若 mn，m，n，则 解析：直线 n 可能在平面 内，A 错误；两平面可相交，此时直线 m，n 均与交线平行即可，B 错误；两平面可相交，C 错误；因为mn，m，所以 n，又 n，所以 ，D 正确故选 D.答案：D4如图，L，M，N 分别为正方体对应棱的中点，则平面 LMN与平面 PQR 的位置关系是( )A垂直 B相交不垂直C平行 D重合解析：如图，分别取另三条棱的中点 A，B，C 将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL，因为PQAL，PRAM，且 PQ 与 PR 相交，AL 与 AM 相交，所以平面 PQR平面 AMBNCL，即平面 LMN平面 PQR.答案：C考点一 直线与平面平行的判定与性质|1(2016·阜阳一中模拟)过平行六面体 ABCD­A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1平行的直线共有( )A4 条 B6 条C8 条 D12 条解析：如图所示，在平行六面体 ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q 分别为相应棱的中点，容易证明平面 EFGH，平面 MNPQ 均与平面 BDD1B1平行平面 EFGH 和平面 MNPQ 中分别有 6 条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12 条直线符合要求答案：D2.如图，正四棱柱 ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱 C1C，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：当点 M 在线段 FH 上时，MN平面 B1BDD1.答案：点 M 与点 H 重合(或点 M 在线段 FH 上)3.(2015·高考北京卷)如图，在三棱锥 V­ABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC，O，M 分别为 AB，VA 的2中点(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 V­ABC 的体积解：(1)证明：因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB.又因为 VB平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)证明：因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB.所以平面 MOC平面 VAB.(3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC，2所以 AB2，OC1，所以 SVAB，3又因为 OC平面 VAB，所以 VC­VAB OC·SVAB.1 333又因为三棱锥 V­ABC 的体积与三棱锥 C­VAB 的体积相等，所以三棱锥 V­ABC 的体积为.33判断或证明线面平行的常用三种方法(1)利用线面平行的定义(常用反证法)(2)利用线面平行的判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面与已知平面相交找它们的交线(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面考点二 面面平行的判定与性质|如图，在多面体 ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，BF3，G 和 H 分别是CE 和 CF 的中点(1)求证：平面 BDGH平面 AEF；(2)求多面体 ABCDEF 的体积解 (1)证明：在CEF 中，因为 G，H 分别是CE，CF 的中点，所以 GHEF，又因为 GH平面 AEF，EF平面 AEF，所以 GH平面 AEF.设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OH，如图，在ACF 中，因为 O，H 分别是 AC，CF 的中点，所以 OHAF，又因为 OH平面 AEF，AF平面 AEF，所以 OH平面 AEF.又因为 OHGHH，OH，GH平面 BDGH，所以平面 BDGH平面 AEF.(2)因为 AC平面 BDEF，又易知 AO，S矩形 BDEF3×26，222所以四棱锥 A­BDEF 的体积 V1 ·AO·S矩形 BDEF4.1 3同理可得四棱锥 C­BDEF 的体积 V24.所以多面体 ABCDEF 的体积 VV1V28.证明面面平行的五种常用方法(1)利用面面平行的定义(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行” “线面平行” “面面平行”的相互转化1如图，在三棱锥 S­ABC 中，平面 SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.证明：(1)因为 ASAB，AFSB，垂足为 F，所以 F 是 SB 的中点又因为 E 是 SA 的中点，所以EFAB.因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.同理 EG平面 ABC.又 EFEGE，所以平面 EFG平面 ABC.(2)因为平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB，又 AF平面SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC，因为 BC平面 SBC，所以 AFBC.又因为 ABBC，AFABA，AF，AB平面 SAB，所以 BC平面 SAB.因为 SA平面 SAB，所以 BCSA.考点三 线面平行中的探索性问题|(2015·枣庄模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解 法一：存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1，下面给出证明：如图，取 BB1的中点 F，连接 DF，则 DFB1C1，AB 的中点为 E，连接 EF，则 EFAB1，B1C1AB1B1，平面 DEF平面 AB1C1.而 DE平面 DEF，DE平面 AB1C1.法二：假设在棱 AB 上存在点 E，使得 DE平面 AB1C1如图，取BB1的中点 F，连接 DF、EF，则 DFB1C1，又 DF平面 AB1C1，DF平面 AB1C1，又 DE平面 AB1C1，DEDFD，平面 DEF平面 AB1C1，EF平面 DEF，EF平面 AB1C1，又EF平面 ABB1，平面 ABB1平面 AB1C1AB1，EFAB1，点 F 是 BB1的中点，点 E 是 AB 的中点即当点 E 是 AB 的中点时，DE平面 AB1C1.线面平行的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设2四棱锥 P ­ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，在侧面 PBC 内，有 BEPC 于 E，且 BEa，试在 AB63上找一点 F，使 EF平面 PAD.解：在平面 PCD 内，过 E 作 EGCD 交 PD 于 G，连接 AG，在AB 上取点 F，使 AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形 FEGA 为平行四边形，FEAG.又 AG平面 PAD，FE平面 PAD，EF平面 PAD.F 即为所求的点又 PA面 ABCD，PABC，又 BCAB，BC面 PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设 PAx 则 PC，由 PB·BCBE·PC 得：2a2x2·a·a，a2x22a2x263xa，即 PAa，PCa，PBa.32PE2PB2BE22a2 a22 3PEa，2 33 ，PE PC2 33a3a2 3即 EG a，2 3AF a，2 3故在 AB 上取 AF AB，2 3连接 EF 即可使 EF平面 PAD.23.转化思想在平行关系判断与证明中的应用【典例】 如图，ABCD 与 ADEF 均为平行四边形，M，N，G分别是 AB，AD，EF 的中点(1)求证：BE平面 DMF；(2)求证：平面 BDE平面 MNG.思维点拨 (1)利用判定定理及中位线性质证明(2)抓住线线、线面、面面平行的转化关系证明证明 (1)连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以