2018年高考理科数学第一轮复习教案36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题简单的线性规划(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC>0不包括边界直线AxByC0直线AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分易误提醒 画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 axbyc>0(a>0)必备方法 确定二元一次不等式表示平面区域的方法：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧自测练习1不等式组Error!表示的平面区域是( )解析：x3y60 表示直线 x3y60 及右下方部分，xy21，即 a>1 时，zmax2a，2a1a0，a(舍去)；3 2当 2a1，即 a1 时，zmax1，11a0，a2，符合条件，故选 B.答案：B考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域|1(2016·济南模拟)不等式组Error!表示的平面区域的面积为( )A4 B1C5 D无穷大解析：不等式组Error!表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC 的面积即为所求求出点A，B，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则ABC 的面积为S ×(21)×21.1 2答案：B2(2015·高考重庆卷)若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为( )4 3A3 B1C. D34 3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则 m>1.由Error!解得Error!即 A(1m,1m)由Error!解得Error!即 B.(2 34 3m，2 32 3m)因为 SABCSADCSBDC (22m) (m1)1 21m(2 32 3m)1 32 ，所以 m1 或 m3(舍去)，故选 B.4 3答案：B3设集合 AError!，B(x，y)|3xy110，则 AB 中元素的个数为( )A0 B1C2 D无数解析：由题意作出集合 A 表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合 B 表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故 AB 中的元素有无数个答案：D确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线AxByC0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧常选(1,0)或(0,1)点考点二 线性目标函数的最值及应用|线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用探究一 求线性目标函数的最值1(2015·高考全国卷)若 x，y 满足约束条件Error!则 zxy的最大值为_解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点 A处，z 取得最大值，且 zmax .(1，1 2)3 2答案：3 2探究二 求非线性目标函数的最值2(2015·高考全国卷)若 x，y 满足约束条件Error!则 的最大值y x为_解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点 A(1,3)处， 取得最大值 3.y x答案：3探究三 求线性规划中的参数值或范围3(2015·高考山东卷)已知 x，y 满足约束条件Error!若 zaxy的最大值为 4，则 a( )A3 B2C2 D3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数 zaxy 的最大值为 4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在 y 轴上的截距的最大值为 4，作出过点 D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点 B(2,0)处取得最大值，故有 a×204，解得a2.答案：B4已知实数 x，y 满足不等式组Error!若目标函数 zyax(aR)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B1，)C(2，) D2，)解析：如图所示，当 a0 时，直线 yaxz 知在点(1,3)不可能取得最大值，则当 a>0 时，目标函数 zyax 要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足 a>1，故选 A.答案：A探究四 线性规划的实际应用5(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B两种原料已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12 万元 B16 万元C17 万元 D18 万元解析：根据题意，设每天生产甲 x 吨，乙 y 吨，则Error!目标函数为 z3x4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 3x4y0 并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z 取得最大值且 zmax3×24×318，故该企业每天可获得最大利润为 18 万元，选 D.答案：D1求目标函数的最值的三个步骤：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：y x ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值a bz bz b(2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如 z.yb xa20.转化思想在非线性目标函数最值问题中的应用【典例】 变量 x，y 满足Error!(1)设 z，求 z 的最小值；y 2x1(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；(3)设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围思维点拨 点(x，y)在不等式组表示的平面区域内， ·y 2x11 2表示点(x，y)和连线的斜率；x2y2表示点(x，y)和原点距y0(x1 2)(1 2，0)离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点(x，y)和点(3,2)的距离的平方解 (1)由约束条件Error!作出(x，y)的可行域如图所示由Error!解得 A.(1，22 5)由Error!解得 C(1,1)由Error!解得 B(5,2)z×y 2x1y0x121 2z 的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知(1 2，0)zmin× .205121 22 9(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2292z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.35222216z64.方法点评 (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用转化思想与数形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义(3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题跟踪练习 (2016·湖州质检)已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满足不等式组Error!则 tanAOB 的最大值等于( )A. B.9 44 7C. D.3 41 2解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当 A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tanAOB 取得最大值，此时由于 tan kBO ，tan kAO2，故 tanAOBtan ()1 2tan tan 1tan tan ，故选 C.21212 ×1 23 4答案：CA 组 考点能力演练1(2016·唐山期末)设变量 x，y 满足Error!则目标函数z2x3y 的最小值为( )A7 B8C22 D23解析：变量 x，y 满足的区域如图阴影部分所示：目标函数 z2x3y 在点(2,1)处取得最小值 7，故选 A.答案：A2在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组Error!所表示的平面区域上一动点，则直线 OP 斜率的最大值为( )A2 B.1 3C. D11 2解析：作出可行域如图所示，当点 P 位于Error!的交点(1,1)时，(kOP)max1，故选 D.答案：D3在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A(x，y)|xy1，且 x0，y0，则平面区域 B(xy，xy)|(x，y)A的面积为( )A2 B1C. D.1 21 4解析：不等式Error!所表示的可行域如图所示，设 axy，bxy，则此两目标函数的范围分别为 axy0,1，bxy1,1，又ab2x0,2，ab2y0,2，点坐标(xy，xy)，即点(a，b)满足约束条件Error!作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ×2×11，故选 B.1 2答案：B4设 x，y 满足约束条件Error!若目标函数 zaxby(a>0，b>0)的最大值为 4，则 ab 的取值范围是( )A(0,4) B(0,4C4，) D(4，)解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，zaxby(a>0，b>0)过点 A(1,1)时取最大值，ab4，ab24，a>0，b>0，ab(0,4，故选 B.(ab 2)答案：B5已知实数 x，y 满足：Error!则 z2x2y1 的取值范围是( )A. B0,5 C. D.5 3，55 3，5)5 3，5)解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x2y10，平移 l 可知 2× 2× 1z0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 k 的值为_解析：由目标函数 zkxy(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线 kxy0 的倾斜角为 120°，于是有ktan 120°，所以 k.33答案：37已知实数 x，y 满足Error!则 wx2y24x4y8 的最小值为_解析：目标函数 wx2y24x