中考数学二轮复习培优专题29相似三角形之三等角的相似 (含答案)

29第5章相似三角形之三等角的相似一、选择题1直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）ABCD【答案】D【解析】分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，先根据全等三角形的判定定理得出BCEACF，故可得出CF及CE的长，在RtACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出CD的长，在RtBCD中根据勾股定理即可求出BD的长【解答】如图，分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，ABC是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90°，BCE+ACF90°，ACF+CAF90°，EBCACF，BCECAF，在BCE与ACF中，CBEACF（ASA）CFBE，CEAF，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，CFBE3，CEAF3+14，在RtACF中，AF4，CF3，AC5，AFl3，DGl3，CDGCAF， ，在RtBCD中，BC5，所以故答案为：D【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键2如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（）A16B8C8D16【答案】D【解析】先利用等角的余角证明ADFEDC，再根据相似三角形的判定方法证明ADFCDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可.【解答】解：四边形ABCD为正方形，ADCD4，ADCC90°，四边形EDFG为矩形，EDFF90°，ADF+ADE90°，ADE+EDC90°，ADFEDC，ADFCDE，即 ，DF，矩形EDFG的面积为：DEDFDE16故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步3如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，AB=2BC则点的坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】过C作CEx轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，ABC=90°，根据余角的性质得到BCE=ABO，进而得出BCEABO，根据相似三角形的性质得到结论【解答】解：过C作CEx轴于E，四边形ABCD是矩形，CD=AB，ABC=90°，ABO+CBE=CBE+BCE=90°，BCE=ABO，BCEABO，AB=，AB=2BC，BC=AB=4，CE=2，BE=2OE=4+2C（4+2，2），故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键4如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上若DE=4，则AF的长为（   ） A   B4     C3     D2【答案】C【解析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，BAD=D=90°，通过证明ABFDAE，可得，即可求解【解答】解：矩形ABCD， BAD=D=90°，BC=AD=8 BAG+DAE=90° 折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF， BF垂直平分AG ABF+BAG=90° DAE=ABF， ABFDAE 即 解之：AF=3 故答案为：C【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键5如图，为的边上一点，则的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据已知证明ADBABC,利用代值求解即可【解答】，A=C，DBC=BDC，DBC=2A，BDC=A+ABD=2A，ABD=A=C，ADBABC，AD=BD，设BD=AD=x，则，即，解得：（不符题意，舍去），故选：A【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键二、填空题6如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结若，则_【答案】【解析】由折叠的性质可得BCM=BFM，BC=BF，再由FMCD，可得BFM=ABF，从而得ABFBCA，由相似三角形的性质求得AB，进而由勾股定理可求解【解答】解：四边形是矩形，ABC=BAD=90°，ABCD，FMAB，BFM=ABF，由折叠的性质可得：BCM=BFM，BC=BF=4，ABF=ACB，ABFBCA，即，；故答案为【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理及折叠的性质，关键是证明三角形的相似，进而根据相似三角形的性质进行求解7如图，点D是等边ABC边AB上的一点，且AD：DB2：3，现将ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF_【答案】【解析】借助翻折变换的性质得到DE=CE，设AD=2k，DB=3k得到AB=5k，根据AEDBDF即可解决问题【解答】解：设AD=2k，则DB=3k，AB=5k，ABC为等边三角形，AB=AC=5k，A=B=C=EDF=60°，EDA+FDB=120°，又EDA+AED=180°-A=180°-60°=120°，FDB=AED，AEDBDF，由折叠得CE=DE，CF=DFAED的周长为AD+AE+ED=AD+AC=2k+5k=7k，BDF的周长为DB+DF+BF=DB+BC=3k+5k=8k，由相似三角形的周长比等于相似比可知，AED与BDF的相似比为7：8CE：CF=DE：DF=7：8，故答案为：7：8【点睛】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求8如图，四边形ABCD中，ABCD，C90°，AB1，CD2，BC3，点P为BC边上一动点，若APDP，则BP的长为_【答案】1或2【解析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得B=90°，根据同角的余角相等可得CDP=APB，即可证明CDPBPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案【解答】设BP=x，则PC=3-x，ABCD，C90°，B=180°-C=90°，B=C，APDP，APB+DPC=90°，CDP+DPC=90°，CDP=APB，CDPBPA，AB1，CD2，BC3，解得：x1=1，x2=2，BP的长为1或2，故答案为：1或2【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键9如图，点为外一点，过点作的切线、，点、为切点连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，则的长为_【答案】【解析】连接OB，在中应用勾股定理求得的半径为3，再根据，对应线段成比例即可求解【解答】解：连接OB，、为的切线，设的半径为r，则，在中，即，解得，即，故答案为：【点睛】本题考查切线长定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用等内容，作出合适的辅助线是解题的关键10在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为5，点和点是圆上两个不同的点，其中与均不为0过点分别作圆的切线与轴和分别相交于两点，则_【答案】25【解析】根据圆的圆心坐标为，半径为5，可得圆与y轴相切于点O，则有：AO=AB，BP=BD，可得，有，可证，得到，化简即可得到结果【解答】解：如图示，AB、BD与圆相切于点P，D，AB、BD相交于点B，圆的圆心坐标为，半径为5，圆与y轴相切于点O，则有：AO=AB，BP=BD，OD是圆的直径，又P是切点，即：，故答案为：25【点睛】本题考查了圆的切线和相似三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键三、解答题11如图，在中，于，于，试说明：（1）（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可；（2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明ADEACB，最后根据相似三角形的性质即可证明【解答】解：（1）CDAB于D，BEAC于E，AEB=ADC=90°，在ABE和ACD中ABEACD；（2）ABEACD，在ADE和ACB中，ADEACBAD·BC=DE·AC【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键12如图，是的角平分线，延长至点使得求证：【答案】证明见解析【解析】先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证【解答】是的角平分线又【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键13如图，在中，是上一点，是上一动点，连接，作，射线交线段于.（1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长；【答案】（1）见解析；（2）长为2或3【解析】（1）由三角形外角性质可得CED=B+BDE，结合DEF=B可推出BDE=CEF，再加上B=C可证明DBEECF；（2）由DBEECF可得对应边成比例，设，则，建立方程求解即可.【解答】（1）证明：，；，.（2）（已证）.；为的中点，.设，则；又，解得或3.故长为2或3.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，此图形可作为“一线三等角”模型记住证明方法，第（2）题由相似得到对应边成比例，建立方程是解题的关键.14如图，