有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质【知识要点】1函数 的图象和性质：(0,)axbycdbc（1）定义域： （2）值域： （3）单调性：|ayc单调区间为 （4）渐近线及对称中心：渐近线(,)(,+)c为直线 ，对称中心为点daxy(,)dc（5）奇偶性：当 时为奇函数。 （6）图象：如图所示。02函数 的图象和性质：(,)b（1）定义域： （2）值域：|x（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：|,yabyab或在区间 上是增函数；在区间,+)(,上是减函数（5）渐近线：以 轴和直线(0,0)bay为渐近线（6）图象：如图所示。yx3函数 的图象和性质：(,0)ab（1）定义域： （2）值域：R（3）奇偶性：奇函数（4）|x单调性：在区间 和 上是增函数。 （5）渐近线：以(,+)(,)轴和直线 为渐近线（6）图象：如图所示。ya4函数 的图象（如图所示）和性质（略）：(0)bx54321-1-2-3-4-6 -4 -2 2 4 6y=axO0b0b8642-2-10 -5 5ac-dcO54321-1-2-3-4-6 -4 -2 2 4 6y=ax-2ab2ab- ba baO54321-1-2-3-4-6 -4 -2 2 4 6y=axO54321-1-2-3-4-6 -4 -2 2 4 6y=axO【例题精讲】1函数 的图象是 （ ）1xyA B C D2函数 的反函数是 （ 3(1)xy） 333.(2) .(2) . (1) .(1)22xxxyyyx3若函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 （ faa） . 1 . 1 .2 .ABCD4若函数 存在反函数，则实数 的取值范围为 （ 2()xf） 11. 1 .1 . .22aaaa5不等式 的解集为 （ 4x） 1111. (,0)(,) .(-,)(,) .(,0)(,+) .(,0)(,2222ABCDUUUU6已知函数 的图象如图所示，则 的大小关系为 （ 2axbfc,abc） . . . .abc bca7若正数 、 满足 则 的取值范围是_ 。,3ba8函数 的值域是 。234xy9若函数 的反函数的图象关于点 成中心对称，则实数 1a(1,4)a。10函数 的反函数的定义域是 。1xey11不等式 的解集是 。23x12函数 的值域是 。21y13设 。(),0+)afxx（1）当 a2 时，求 的最小值；(f（2）当 0a1 时，判断 的单调性，并写出 的最小值。)x()fx14设函数 ，求 的单调区间，并证明 在其单调区间上的单()(0xfb()f ()fx调性BABDAD7 8 93 10 11 或 129,+),4(1,)3x41,)313解：（1）a2 时，f（x）x x1 12 1，等号在 x12x，x 1（x 0，） ）时成立（2）当 0a1 时，设 x1，x 2 0，） ，x 1x 2 则 f（x 2） f（x 1）（x 2x 1） （x 2x 1） （1 ） 2a1 )1(21xa 0a1， 1，1 0，)(21a)(21又 x2x 10，于是 f（x 2） f（x 1）（x 2x 1） （1 ）0，)1(21xaf（x 2） f（x 1） ，f（x）是增函数 在 x0 时，f （x）的最小值是 a14解：函数 的定义域为ba)(,)(,)bU在 内是减函数， 在 内也是减函数 xf,xf,证明 在 内是减函数)(f),b取 ，且 ，那么),(,21bx21xbxaff 2121)() )()- 211bx 0)(,0,0212 xba 0)(21xff即 在 内是减函数，同理可证 在 内是减函数。)(f),(xf,b浅 说 函 数 的 对 称 性 函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2ax) = 2b证明：（必要性）设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点，点 P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P（2ax，2by）也在 y = f (x)图像上， 2by = f (2ax)即 y + f (2ax)=2b 故 f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x 0) + f (2ax 0) =2b，即 2by 0 = f (2ax 0) 。 故点 P（2ax 0，2by 0）也在 y = f (x) 图像上，而点 P 与点 P关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)定理 3. 若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c ，用 2bx 代 x 得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函数 y = f (x)图像直线 x =b 成轴对称， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*） ，用 2（a b）x 代 x 得f 2 (ab)+ x = 2c f 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理 4. 函数 y = f (x)与 y = 2bf (2a x)的图像关于点 A (a ,b)成中心对称。定理 5. 函数 y = f (x)与 y = f (2ax)的图像关于直线 x = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 ax = f (a y)的图像关于直线 x +y = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y + a)的图像关于直线 xy = a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理 5 中的设点 P(x0 ,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0)。记点 P( x ,y)关于直线 xy = a 的轴对称点为 P（x 1， y1） ，则 x1 = a + y0 , y1 = x0a ， x 0 = a + y1 , y0= x1a 代入 y0 = f (x0)之中得 x1a = f (a + y1) 点 P（x 1， y1）在函数 xa = f (y + a)的图像上。同理可证：函数 xa = f (y + a)的图像上任一点关于直线 xy = a 的轴对称点也在函数 y = f (x)的图像上。故定理 5 中的成立。推论：函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。三、函数对称性应用举例例 1：定义在 R 上的非常数函数满足： f (10+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10 x).f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数， x =0即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还是一个偶函数。故选(A)例 2：设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且 f(x1)和 g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称，若 g(5) = 1999，那么 f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和 y = g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称，y = g -1(x2) 反函数是 y = f(x1)，而 y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有 f(51) = 2 + g(5)=2001故 f(4) = 2001,应选（C）例 3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x),当1x0 时，f (x) = x，则 f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二 第一试题）21解：f(x) 是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1 x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例 4. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)= f(x),当 0x1 时，f (x) = x，则 f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5解：y = f (x)是定义在 R 上的奇函数， 点（0，0）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即 f (1+ x) = f (1x) ， 直线 x = 1