高数一 1-3 函数的极限

上页下页铃结束返回首页二、函数极限的性质一、函数极限的定义函数的极限三、极限的运算法则 四、两个重要极限1上页下页铃结束返回首页一、函数极限的定义 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作 1.自变量趋于有限值时函数的极限提示:当xx0时 f(x)A.当|xx0|0时|f(x)A|0.当|xx0|变得足够小时|f(x)A|小于任意给定的正数 注:当xx0时 xx0 且f(x)在x0的某一去心邻域内有定义.v函数极限的精确定义(简记形式)0 0 当0|xx0|时 有|f(x)A|2上页下页铃结束返回首页例1 设 f(x)x2 x 取?可使当|x1|0 0 当0|xx0|时 有|f(x)A|讨论 3上页下页铃结束返回首页注:v单侧极限 若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限 记为 或 f(x0)A.xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0,xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0.0 0 当x0 xx0时 有|f(x)A|0 0 当0|xx0|时 有|f(x)A|4上页下页铃结束返回首页 这是因为 例2 函数当x0时的极限不存在结论5上页下页铃结束返回首页 类似地可定义 如果当|x|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为2.自变量趋于无穷大时函数的极限 0 M0 当|x|M时 有|f(x)A|精确定义 结论 或 f(x)A(x).6上页下页铃结束返回首页二、函数极限的性质v定理1(函数极限的唯一性)v定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 v定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0)如果当xx0时f(x)的极限存在 那么这极限是唯一的 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且 f(x)A(xx0)那么A0(或A0)推论 7上页下页铃结束返回首页例如,已知v定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN)那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且(参见第四小节),则 8上页下页铃结束返回首页 (2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则limcf(x)climf(x)推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则limf(x)nlimf(x)n 如果 lim f(x)A lim g(x)B 那么v定理5(极限的四则运算法则)(1)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB三、极限的运算法则9上页下页铃结束返回首页讨论 提示 例3 解 解 例4 设有理函数 其中 P,Q 为多项式.如果 Q(x0)0,求10上页下页铃结束返回首页v定理6(复合函数的极限运算法则)说明 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则 把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可得类似结果 例5 已知 计算 解 令 u x ,则 11上页下页铃结束返回首页注:设 f(x)为基本初等函数,如果 lim u(x)aDf,则lim f u(x)f lim u(x).v定理6(复合函数的极限运算法则)设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则 解 例6 已知 计算 12上页下页铃结束返回首页 解 例7 计算 注:设 f(x)为基本初等函数,如果 lim u(x)aDf,则lim f u(x)f lim u(x).13上页下页铃结束返回首页 三角形 OAD 的面积为S3,DB1OCAx 记三角形OAB的面积为S1,v夹逼准则 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 四、两个重要极限一个重要不等式 证明 如附图 设圆心角 AOBx 扇形 OAB 的面积为S2,则 S1 S2 17上页下页铃结束返回首页例11 解 v第二个重要极限v配 e 法 设 则 18上页下页铃结束返回首页作业1.319