高数一 1-5 函数的连续性

上页下页铃结束返回首页一、函数的连续性二、函数的间断点函数的连续性1上页下页铃结束返回首页 设 f(x)为基本初等函数,且 f(a)有定义,则基本初等函数的连续性一、函数的连续性 如果 则称函数 f(x)在点 xx0 处连续.v函数的连续性定义分析:记那么 v函数连续性的数值意义 当自变量变动很微小时,函数值的变动也很微小.2上页下页铃结束返回首页 如果 则称 f(x)在点 xx0 处左连续.v左连续与右连续 如果 则称 f(x)在点 xx0 处右连续.结论 函数 yf(x)在点 x0 处连续 函数 yf(x)在点 x0 处左连续且右连续 v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续注:如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 3上页下页铃结束返回首页v定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 若函数ug(x)在点x0连续 函数yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续v定理2 v初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的注:所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间4上页下页铃结束返回首页v初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的注:所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间 解 例1 求函数 的连续区间,并求 由 得定义域为 所求连续区间为 5上页下页铃结束返回首页因为 例2 设 在R上连续,求常数A.解 当 x 0 时,f(x)连续,要使 f(x)在R上连续,当且仅当 f(x)在 x 0 处连续,于是 所以 得 6上页下页铃结束返回首页二、函数的间断点间断点的定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 如果函数f(x)在点x0不连续 则点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点 分析:7上页下页铃结束返回首页所以点x=0是该函数的间断点 如 果 补 充 定 义：令 x=0时y=1 则所给函数在x=0成为连续 x=0称为该函数的可去间断点 间断点举例例38上页下页铃结束返回首页 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 例4 间断点举例9上页下页铃结束返回首页间断点举例 例5 铅直渐近线无穷间断点.故称 为函数 的10上页下页铃结束返回首页 例6 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 间断点举例11上页下页铃结束返回首页第一类间断点:可去间断点、跳跃间断点 第二类间断点:无穷间断点、振荡间断点、及其它.v间断点的类型12上页下页铃结束返回首页注:解综上得因故13上页下页铃结束返回首页作业1.514