高数一 1-2 数列的极限

上页下页铃结束返回首页一、数列极限的定义二、收敛数列的性质数列的极限三、极限的四则运算法则四、极限存在准则1上页下页铃结束返回首页此时称S为数列An的极限,或称数列An收敛于S,记为一、数列极限的定义v引例(割圆术)A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n1边形面积,显然n越大,An越接近于S 当n无限增大时,An无限接近于S,或称An趋向于S(AnS),或 AnS(n).2上页下页铃结束返回首页一般项例1 考察数列的变化趋势.给定 0.1,当 n10时,有|xn1|100时,有|xn1|1000时,有|xn1|10k 时,有|xn1|0.1k;给定 0.1k,任意给定正数(N 时,有|xn1|N 时 有|xna|则称常数a是数列xn的极限或称数列xn收敛于a 记为|xn a|小于任意给定的正数,等价于|xn a|0(n):xna(n)只要n大于某正整数N.如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限 极限定义的简记形式 0,NN 当nN时 有|xna|.或说数列xn是发散的 习惯上也说nnxlim不存在4上页下页铃结束返回首页aa-a()存在 NN 当nN时 点xn全都落在邻域(a-a)内 任意给定a的 邻域(a-a)v数列极限的几何意义 极限定义的简记形式 0,NN 当nN时 有|xna|.5上页下页铃结束返回首页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 注 如果M0,nN 有|xn|M 则称数列xn是有界的;如果这样的正数M 不存在 就说数列xn是无界的 讨论 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?提示:考虑数列 1 1 1 1 (1)n1 .aa-a()6上页下页铃结束返回首页v定理3(收敛数列的保号性)如果数列xn收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0)且数列xn收敛于a 那么a0(或a0)aa-a()7上页下页铃结束返回首页注:在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列v定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a讨论 1 数列的子数列如果发散 原数列是否发散?2 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何?3 发散的数列的子数列都发散吗？4 如何判断数列1111 (1)n1 是发散的？8上页下页铃结束返回首页v极限的四则运算法则 设有数列xn和yn 如果那么 三、极限的四则运算法则9上页下页铃结束返回首页 例2 计算 解1 解2 10上页下页铃结束返回首页 例3 计算 解 原式 例4 计算 原式 解 11上页下页铃结束返回首页 例5 计算 解 12上页下页铃结束返回首页例6 求 v夹逼准则 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n1 2 3 )解 四、极限存在准则13上页下页铃结束返回首页则 a0.例7 证明 证明 记 又因为 所以由夹逼法知 由二项公式知 由此可得 二项公式 14上页下页铃结束返回首页注:如果xnxn1 nN 就称数列xn是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列xn是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 v单调有界收敛准则 单调增加(减少)且有上(下)界的数列必有极限 几何解释 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生 Mx1x5x4x3x2xnA15上页下页铃结束返回首页证明 例8 已知 证明 存在.假设 成立,则 由归纳原理知数列xn单调增加.x0 3,假设 xn 1,则 16上页下页铃结束返回首页根据单调有界收敛准则 数列xn必有极限 此极限用e来表示 即v一个重要极限 e是个无理数 它的值是e2 718281828459045 可以证明 (2)xn3 (1)xn xn1 nN 17上页下页铃结束返回首页 例9 计算v一个重要极限 解 18上页下页铃结束返回首页作业1.219