高中数学3-1-1数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入,31数系的扩充和复数的概念31.1数系的扩充和复数的概念,【课标要求】1了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念3掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件【核心扫描】1利用复数的代数形式进行复数分类或考查两个复数相等是本节热点2常与方程、不等式、三角函数结合命题3多以选择、填空题的形式进行考查,自学导引1复数的有关概念(1)复数定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2 ，a叫做复数的 ，b叫做复数的 表示方法：复数通常用 表示，即 这一表示形式叫做复数的代数形式,虚数单位,1,实部,虚部,字母z,zabi(a，bR),(2)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 表示想一想：复数mni的实部、虚部一定是m、n吗？提示不一定，只有当mR，nR时，m、n才是该复数的实部、虚部,全体复数,C,实数,虚数,(a0),(a0),3复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则abicdi ，abi0 .,ac且bd,ab0,名师点睛1数系的扩充与复数的概念(1)数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x21这个方程在实数范围内就无解，为了解决这个问题，需要把数的范围作进一步的扩充，为此，人们引入一个新数i，叫虚数单位，且规定i21；,i可与实数进行四则运算；且原有的加、乘运算律仍成立说明：复数集中不全是实数的两数不能比较大小，如i和0.若i>0，则i·i>0·i，即1>0，不成立若i0·i，即1>0，不成立(2)我们把集合Cabi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位全体复数所成的集合C叫做复数集复数是数系扩充以后得到的另一种数，通常用字母z表示它与实数有本质的区别，但也有内在的联系：当b0时，za为实数；当a0且b0时，zbi为纯虚数；当b0时，zabi为虚数,2两个复数相等的充要条件 两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解,题型一关于复数的概念【例1】 下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且a>b，则ai>bi；若x2y20，则xy0；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根；若aR，则(a1)i是纯虚数A0 B1 C2 D3,思路探索 只需根据复数的有关概念判断即可解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当x1，yi时，x2y20成立，是假命题因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故错；因为1的平方根为±i，故错；当a1时，(a1)i是实数0，故错；答案A,复数zabi(a，bR)中注意以下几点：(1)a，bR，否则不是代数形式(2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数反之，若z是纯虚数，可设zbi(b0，bR)；若z是虚数，可设zabi(b0，bR)；若z是复数，可设zabi(a，bR),【变式1】 已知下列命题：复数abi不是实数；当zC时，z20；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x±2；若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数；若a、b、c、dC时，有abicdi，则ac且bd.其中真命题的个数是_,(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问题来解决(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题,【题后反思】 (1)当复数不是abi(a、bR)的形式时，要通过变形化为abi的形式，以便确定实部和虚部(2)注意分清复数分类中的条件：设zabi(a，bR)，则z为实数b0；z为虚数b0；z0a0且b0；z为纯虚数a0且b0.(3)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根,想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数,