复变函数的概念

一、复变函数的概念,第八模块 复变函数,第二节复变函数的极限与连续性,二、复变函数的极限,二、复变函数的连续性,1.复变函数的定义,设D为给定的平面点集，若对于D中每一个复数z=x+yi ，按照某一确定的法则 f ，总有确定的一个或几个复数w=u+vi与之对应，则称f 是定义在D上的复变函数（复变数w是复变数 z的函数），简称复变函数，记作 w=f(z) 。,一、复变函数的概念,其中 z 称为自变量， w 称为因变量，点集D 称为函数的定义域。,设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作,一、复变函数的概念,这样，一个复变函数 w=f(z)就相当于一对二元实值函数u=u(x , y) , v= v(x , y) 。,w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y),其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。,从而 w=f(z)的性质就取决于u=u(x , y) , v= v(x , y)的性质 。,2. 复变函数与实值函数的关系,一、复变函数的概念,如果复数 z和 w分别用Z 平面和 W 平面上的点表示，则函数 w=f(z) 的几何意义是：,2.复变函数的几何意义,将Z平面上的定义域 D 变到 W 平面上的函数值域G 的一个变换或映射，它将D 内的一点z 变为 G内的一点。,一、复变函数的概念,例1 将定义在全平面上的复变函数 w=z2+1化为一对二元实变函数。,例2 将定义在全平面除去原点的一对二元实变函数。,化为一个复变函数。,1. 复变函数的极限的定义,二、复变函数的极限,或,记作,意给定的正数（无论它多么小）总存在正数，,都有,二、复变函数的极限,2. 复变函数的极限与实值函数的极限的关系,设,，,则,且,三、复变函数的连续性,1. 复变函数连续的定义,在区域D内连续。,三、复变函数的连续性,2. 连续的复变函数的性质,在z0处连续的两个函数的和、差、积、 商（分母不为0）仍在处z0连续。,性质2,性质3,性质1,可以取得最大值和最小值。,三、复变函数的连续性,例3 求,例4 讨论,在闭圆域,