2017-2018年高中数学 考点16 正弦定理和余弦定理（含2017年高考试题）新人教a版
1考点 16 正弦定理和余弦定理1、 选 择 题1.(2017·全国乙卷文科·T11)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= 2,则 C=()A.12B. 6C. 4 D. 3【命题意图】本题主要考查三角公式的应用,重点考查正弦定理在解决三角形问题中的应用.【解析】选 B.由题意得 sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即 sinC(sinA+cosA)= 2sinCsin 4A=0,所以 A=34.由正弦定理 sinAa= Cc得 3sin= 2i,即 sinC=1,得 C= 6,故选 B.【反思总结】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.2.(2017·山东高考理科·T9)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若ABC 为锐角三角形,且满足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【命题意图】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用,意在考查考生对数学式子的变形能力与运算推理能力.【解析】选 A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC,即 sinAcosC=2sinBcosC,由于ABC 为锐角三角形,所以cosC0,sinA=2sinB,由正弦定理可得 a=2b.二 、 填 空 题3.(2017·全国丙卷·文科·T15)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b=6,c=3,则 A=.【命题意图】本题考查正弦定理,考查学生运算求解的能力.【解析】由题意: sinBb= Cc,即 sinB= bsinc=362= ,结合 bb,a=5,c=6,sinB=35.(1)求 b和 sinA的值.(2)求 sin 24A的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)ABC 中,a>b,sinB= 35,所以 cosB= 45,由余弦定理得,b 2=a2+c2-2accosB=13,所以,b= 13,由正弦定理得,sinA= sinBab=31.(2)由(1)知 sinA= ,又 a<c,cosA= 213,sin2A=2sinAcosA=123,cos2A=1-2sin2A=- 5,6所以,sin 24A=sin2Acos 4+cos2Asin=726.【误区警示】在上述解题过程中,若忽略了大边对大角这一性质,就会出现角 A、角 B的余弦值为负值的情况,从而导致错误的结果.10.(2017·天津高考理科·T15)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac= 5 (a2-b2-c2).(1)求 cosA的值.(2)求 sin(2B-A)的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)由 asinA=4bsinB,及 sinAa= Bb,得 a=2b.由 ac= 5 (a2-b2-c2),及余弦定理,得 cosA=22cab=5c=- .(2)由(1)可得 sinA= 5,代入 asinA=4bsinB,得 sinB= sinA4= 5.由(1)知,A 为钝角,所以 cosB= 21sinB= 5,于是 sin2B=2sinBcosB= 4,cos2B=1-2sin2B=35,故 sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA= 4× 5-3× 2=-5.11.(2017·山东高考文科·T17)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知b=3, ABur· C=-6,SABC =3,求 A和 a.【命题意图】本题考查向量的数量积公式、三角形面积公式和余弦定理的应用,意在考查考生的转化与化归的能力和运算求解能力.【解析】因为r·u=-6,所以 bccosA=-6,又 SABC =3,所以 bcsinA=6,因此 tanA=-1,又0<A<,所以 A=34,又 b=3,所以 c=2 2,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 a2=9+8-2×3×2 ×=29,所以 a= 9.12.(2017·浙江高考·T14)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D为 AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC 的面积是,cosBDC= .7【命题意图】本题主要考查三角函数和正余弦定理的应用.【解析】因为ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得 cosABC=22ABC=224=14,则 sinDBC=sinABC= 5,所以 SBDC =12BD·BCsinDBC= 12,因为 BD=BC=2,所以BDC= 12ABC,则 cosBDC= cosABC= 04.答案: 152 04
