例谈文科生数学教学的有效性
例谈文科生数学思想的培养与课堂教学的有效性普通高中数学课程标准明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的，因此，高中数学课程应该返璞归真，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态 ”正因为高中数学中存在较多的数学抽象概念、理解，因此高中数学教学对文科生而言，有些过于抽象和形式化著名数学教育家、中科院王元院士对数学教学是这样评价的：“合格的数学教师，会把形式化的数学用语转化为学生能轻松掌握的形式 ”因此，笔者认为对文科生数学教学，应参照王教授对中学数学教育的建议，采用多种教学方式和策略的交叉利用，来提高数学教学的有效性在高中数学教学多年，笔者对旧版教材中数学教学的印象是“一个概念、三项注意、习题教学” ，这样的教学方式对文科生来说，往往效率极低考虑到高中数学知识较为抽象，因此课堂气氛沉闷，文科生在这样的数学课上效率也显得低下，最大的困扰在于文科生难以对抽象数学知识在题目中的整合运用因此，笔者通过自身多年教授文科生的经历，浅谈如何进行高中数学教学有效性的研究，请读者斧正一、观察性教学的有效性文中开头笔者就提到，如今高中数学教材中形式化的数学存在的还是较多的，结合当今的高中数学教学来看，高中数学中的“形式化的结果”需要经过进行观察教学（诸如函数的概念、平面向量的基本定理、数学归纳法等） ，而“非形式化的数学”往往能让学生对数学知识的表象理解、记忆（如数形结合以形辅数、穷举法解排列组合等） ，但这样却无法指导学生到达数学概念的彼岸窥视规律和本质基于这样的原因，笔者认为利用观察进行高中数学形式化知识的教学往往能收到一定的效果案例 1 观察性教学数学归纳法概念教学1课程分析从学生的理解角度出发可能出现两个方面的问题.（1）对“数学归纳法”本质特征的理解有疑问,究竟是归纳推理还是演绎论证？本章合情推理一节的归纳推理，与现在的“数学归纳法”从名称上不免让学生产生这个疑惑此时，需让学生了解，虽然数学归纳法的思维模式是：观察归纳猜想证明，但数学归纳法的本质特征是用有限的步骤论证无限结论，学习的重心不是猜，而是证（2）数学归纳法的核心思想中，第二步的归纳假设常常会使学生感到疑惑不解,要证明某个命题正确，怎么假设这个命题正确呢？命题 与命题 有()pk()pn何关系？假设命题 正确,在证明过程中起什么作用？要让学生理解这些问题，()pk就需要让学生体会到要证明的命题 是一个命题序列，其中 与 是()pn()k1)该命题序列中的两个连续命题为了证明这个命题序列整体的正确性，我们首先得证明 为真， 是一个变动的量，假设命题 为真是递推证明的条件，(1)pk ()pk由 为真推出 为真，后继命题的证明得以循环，因此，归纳假设是条k)件，归纳递推才是核心2观察教学教学过程设计的依据是：学生认识数学具有“渐进性” ，个体对数学概念的认识要在不断地重复之中细化、深化、以致内化因此整体设计思路是围绕数学归纳法的核心思想这个中心，在不同媒介的不断重演中，由浅入深将问题串抛给学生，层层推进学生对数学归纳法的理解，以期达到螺旋上升的教学效果（1）观察视频，引出概念.借助一段汽车的创意广告视频（内容是汽车的各关键零件在合理排列的连锁反应下最终启动了一辆整车） ，激发学生思考：广告成功大概需要拍多少次？为什么要不断尝试？不难想象这个广告的拍摄难度，事实上达到了几百次之多，问题 2 的可能回答（ 每个环节的衔接不易、有衔接才有连锁反应、初始环节力量控制需得当）初步形成数学归纳法的原生态理解，问题 3 是引导学生理解广告的目的是以复杂、震撼的效果激发购买欲，而数学则是追求简单美的，以此引出多米诺骨牌这个简化模型 （利用非形式化手段，感受数学归纳法在生活中的模型）（2）观察模型，类比抽象，分组进行多米诺骨牌游戏问 1：多米诺骨牌游戏与汽车广告呈现的连锁反应有何异同？问 2：如何用程序语言描述多米诺骨牌倒下的条件？问 3：能否类比归纳一个与正整数有关的命题的证明步骤？问 4：步骤 2 的作用是什么？分组游戏结束后，由各组代表发言总结游戏的寓意，最后师生共同提炼总结数归原理，至此，完成了 “原理的生成”部分的教学 （利用形式化手段，将数学归纳法进行模型抽象小结）说明：高中数学课堂引导文科生进行观察思考分析再观察的教学方式是一种启发式模式下的教学手段 “观察性”教学方式给了文科生学习数学信心，为解决概念性教学带来了一些启发，培养了学生重视基本知识、基本技能、基本联系，不再面对抽象数学知识时无法理解，有效的指导了文科生的数学学习二、 图形化教学的有效性解析几何是用代数的方法研究几何问题的典范，是数形结合思想优秀的体现，是图形化教学最典型的知识板块在高中数学中，解析几何一直是文科数学教学的重点、难点，这主要基于两方面的原因，其一是如何从解析几何图形中迅速找寻突破口，将问题转化为能利用代数解决的思路和方法；其二是解析几何往往含有令人生畏的运算量，是文科生应试最惧怕的考试题型笔者的建议是，对图形的分析要充分，将图形体现的条件转换为代数语言即可案例 2 设抛物线 （p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于2yxA、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 轴，证明：直线 AC 经过原点/BCx证法 1（代数化）：设直线方程为 ，A ，B ，C ，()2pyk1(,)y2(,)xy2(,)py所以 ， ，所以 ， ， .又2()pykx220ypk121OAk12Ok因为 ，所以 ，即 也是直线 的斜211ypx1OCAxk率，所以 经过原点 当 不存在时， 轴，同ABx理可证 OCk证法 2（图形化）：如图 1，过 A 作 ， 为垂足，Dl则 .连接 与 相交于点 ，则 ，/ADEFBEFN|ECNBFA，由抛物线的定义知 ， ，|NCABF| |ABFCENF说明：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于对图形的度量分析和思维的深刻性三、 特殊化教学的有效性案例 3 （小题小做处理）如图 2 所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB、 AC 于点 M、 N，若 m ， n ，则 m n 的值为_AB AM AC AN 解法 1：利用基底思想建立向量的分解式.因为 O 是 BC 的中点，所以 ( ).AO 12AB AC 又因为 m ， n ，所以 图 2 AB AM AC AN AO m2AM n2AN 因为 M， O， N 三点共线（共线性质） ，所以 1，则 m n2m2 n2说明：教师采用的方法比较系统、严密，对于理科生而言较为合适，对于理性思维较弱的大多数文科生而言，这样的方法即使其听懂了，也难以在类似的题目中进行演绎，因此比较合适文科生的解决方法是采用特殊化处理方式.解法 2：将点 重合于 处，此时点 恰重合于 处，此时MBNC ， = ，即 ，则 m n2，显得极为容易AB AM AC AN 1n说明：高中数学中常常有这样的问题，有时用特殊化的方法能轻松地解决问题的瓶颈，这正是合情推理和演绎推理在解决客观题和填空题中的运用，值得教师向文科生推广，培养其处理抽象问题时的特殊法处理方式四、多解性教学的有效性 案例 4 设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若12F、 213xyAB、则点 的坐标是_A解法 1：设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联1(0)k1F(2)ykx立椭圆 ，得 ，结合图 3 可知23xy22(3)63x， 同理 2331Akx 2331Bkx又因为 所以 ，得 .125FAB2215ABkx所以 ，即 ，此时 ，点 的坐标是 .235(3)kk0xA(0,1)同理,当 时，点 的坐标是 0(0,1)解法 2：设直线 与椭圆的另一个交点为 ，设点 的坐标为 ，点1AF1B1(,)xy的坐标为 .由 及椭圆的对称性，可得 ，1B2(,)xy 15FAB得 设直线 的方程为 ，联立椭圆的方125y1AF2xty程 ，化简得 ，由韦达定理得 ，23xy(3)0ty123t 123t因为 ，所以 ，所以 ，215y156)(yy )31(56322tt解得 .t代入 ，得 故点 的坐标是 2153yt1yA(0,1)说明：解法 1 是思维方式简易、计算量大的方法，文科生要将这种方法进行到底，还需要一定的运算功底，但是值得教师在课堂教学时板演，给予学生填空压轴题也能轻松解决的信心；解法 2 更为常规，利用共线反向，结合设而不求和韦达定理，有效地给学生解决解析几何常规问题最直接的思路五、有效性教学的思考从文中案例可以看出有效性教学的多种方式呈现，认识到各种方式的结合在教学的深度和广度上有着极为重要的作用，它将学生的基本知识和知识链接、能力进行了有效的整合，提高了课堂教学的有效性对文科生数学解题能力的培养，必须有一个循序渐进的过程，通过文中案例描述的问题，给学生一种心理暗示，认清问题的解决方向和提高问题的解决能力，重视知识的联系性，对数学进一步的学习大有益处文中还体现了数学教学在对有效性教学上的一些特点：（1）参与性.对数学问题层层递进的教学，对问题的主动认知和主动归纳总结是学习的最终目标教师要帮助学生主动认知问题的本质和表现活动之间的内在联系，积极去参与解决问题的过程，学习过程的最高境界就是深刻理解表象和本质之间的内在联系可以看到，上述教学过程中（诸如案例 3 的解法 2）均来自文科生的想法，切勿教师一讲到底（2）反思性.文科生对数学概念的抽象性、推理的严谨性和表述的特殊性等，决定了正处于思维上升阶段的中学生不可能一次性掌握数学学习的本质，必然要经过多次反复思考、继续反思，才可能洞察数学学习的本质特征那么对于教师而言，在教学中、解题中要合理引导学生对问题进行反思、思辨，其数学学习的能力得到培养和提高必然经过这样一个不断反复、螺旋上升的过程，进而提高学习综合能力总之，通过教学有效性的探究，旨在引导文科生数学学习的方向性为指导，对进一步养成自主学习、对问题进行多角度的学习习惯打下扎实的基础发表于： 2014 年 5 月
