第20讲三角函数图像与性质教师
玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂第 20 讲三角函数图像与性质玩前必备1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR 且 x2k，kZ值域1，11，1R单调性22k，22k(kZ)上递增；22k，322k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(2k，2k)(kZ)上递增最值x22k(kZ)时，ymax1；x22k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(2k，0)(kZ)(k2，0)(kZ)对称轴方程x2k(kZ)xk(kZ)周期222五点法作 yAsin(x)一个周期内的简图玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂用“五点法”作图，就是令x取下列 5 个特殊值：0,2,32,2，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3三角函数图象变换4常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若 yAsin(x)为偶函数，则有k2(kZ Z)；若为奇函数，则有k(kZ Z)若 yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ Z)；若为奇函数，则有k2(kZ Z)若 yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ Z)玩转典例题型一题型一三角函数的 5 大性质例例 1(安老师原创)已知函数 f(x)2cos xsinx3 3sin2xsin x cos x1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)当 x0，2 时，求函数 f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数 f(x)的单调递增区间(4)写出函数 f(x)的对称轴和对称中心.(5)函数 f(x)向右平移 t 个单位为偶函数，求 t 的最小正值。玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂解f(x)2cos x12sin x32cos x 3sin2xsin xcos x12sin xcos x 3(cos2xsin2x)1sin 2x 3cos 2x12sin2x3 1.玩转跟踪1（2020山东高三下学期开学）函数2()cos3f xx的最小正周期为（）A4B2C2D【答案】D【解析】因为22cos 211213()coscos 232232xf xxx，所以最小正周期为.故选：D2（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知函数 2sin 20f xx，若将函数 f x的图象向右平移6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是()A56B,012是 f x图象的一个对称中心C 2f D6x 是 f x图象的一条对称轴【答案】ABD【解析】由题意，2sin 2f xx向右平移6，得2sin 22sin 263yxx2sin 23yx的图象关于y轴对称，所以32k，kZ6kkZ，又0,506k，即 52sin 26xxf,50221266fff，则,012是 f x图象的一个对称中心，6x 是 f x图象的一条对称轴玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂而 2f，则 C 错，A,B,D 正确,故选：ABD3（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量2sin3,cos,cosmxnxx，函数()231f xm n，下列命题，说法正确的选项是（）A2()6fxf xB6fx的图像关于4x对称C若1202xx，则12()()f xf xD若123,3 2x xx，则123()()()f xf xf x【答案】BD【解析】函数 2sin 213fxx，A：当0 x 时，166fxf，22013f xf，故 A 错；B：2sin216fxx，当4x时，对应的函数值取得最小值为1，所以 B 正确；C：0,2x时，23x2,33，所以函数 2sin 213fxx在0,2不单调，故 C 错；D：因为,3 2x，所以23x 2,31,333f x，又2313，即 2 minmaxf xf x123123,3 2x xxf xf xf x，恒成立，故 D 对；故选：BD.题型二题型二三角函数模型中“”范围的求法探究例例 2(2020洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)sinx6(0)在区间4，23 上单调递增，则的取值范围为()玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂A.0，83B.0，12C.12，83D.38，2解析法一：由题意得4622k，kZ，23622k，kZ，则838k，kZ，123k，kZ，又0，所以838k0，123k0kZ Z，所以 k0，则 00)的一条对称轴 x3，一个对称中心为点12，0，则有()A最小值 2B最大值 2C最小值 1D最大值 1解析因为函数的中心到对称轴的最短距离是T4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以，中心12，0到对称轴 x3间的距离用周期可表示为312T4，又T2，244，2，有最小值 2，故选 A.答案A例例 4已知函数 f(x)2sin x 在区间3，4 上的最小值为2，则的取值范围是_解析显然0.若0，当 x3，4 时，3x4，因为函数 f(x)2sin x 在区间3，4 上的最小值为2，所以32，解得32.玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂若0，0)，若 f(x)在区间0，2 上是单调函数，且 f()f(0)f2，则的值为()A.23B23或 2C.13D1 或13玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂解析：选 B因为 f(x)在0，2 上单调，所以T22，即 T.若 T，则2；若 T，因为 f()f(0)f2，所以直线 x2是 f(x)的图象的一条对称轴，且在区间0，2 上 f(x)图象的对称中心是4，0，所以T442 34，所以 T3，2T23.故选 B.3.设函数 f(x)cosx6(0)若 f(x)f4 对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为_解析：由于对任意的实数都有 f(x)f4 成立，故当 x4时，函数 f(x)有最大值，故 f4 1，462k(kZ Z)，8k23(kZ Z)又0，min23.答案：23题型题型三三三角三角函数的函数的图像和图像变换图像和图像变换例例 5（2017 山东）设函数()sin()sin()62f xxx，其中03已知()06f（）求；（）将函数()yf x的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数()yg x的图象，求()g x在3,44上的最小值【解析】（）因为()sin()sin()62f xxx，所以31()sincoscos22f xxxx33sincos22xx133(sincos)22xx3(sin)3x由题设知()06f，所以63k，kZ故62k，kZ，又03，所以2（）由（）得()3sin(2)3f xx,所以()3sin()3sin()4312g xxx玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂因为3,44x，所以2,1233x，当123x，即4x 时，()g x取得最小值32玩转跟踪1(2014辽宁卷)将函数 y3sin2x3 的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间12，712 上单调递减B在区间12，712 上单调递增C在区间6，3 上单调递减D在区间6，3 上单调递增答案B解析由题可知，将函数 y3sin2x3 的图象向右平移2个单位长度得到函数 y3sin2x23的图象，令22k2x2322k，kZ，即12kx712k，kZ 时，函数单调递增，即函数 y3sin2x23的单调递增区间为12k，712k，kZ，可知当 k0 时，函数在区间12，712 上单调递增2.【2017 课标 1，9】已知曲线 C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2【答案】D【解析】玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂试题分析：因为12,C C函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326Cyxxx，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin2yx，再将曲线向左平移12个单位得到2C，故选 D.3.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数 3cos 213f xx的图象向左平移3个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g x的图象，则下列关于函数 g x的说法正确的是（）A最大值为3，图象关于直线12x对称B图象关于 y 轴对称C最小正周期为D图象关于点,04对称【答案】BCD【解析】将函数 3cos 213f xx的图象向左平移3个单位长度，得到3cos 213cos 213cos2133yxxx 的图象；再向上平移 1 个单位长度，得到函数 3cos2g xx 的图象，对于函数 g x，它的最大值为3，由于当12x时，32g x ，不是最值，故 g x的图象不关于直线12x对称，故 A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故 B 正确；它的最小正周期为22，故 C 正确；当4x时，0g x，故函数 g x的图象关于点,04对称，故 D 正确.故选：BCD题型题型四四由由图象求图象求 yAsin(x)的的解析解析式式例例 6(1)若函数 yAsin(x)的部分图象如图所示，则 y.玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂答案2sin2x6解析由题图可知，A2，T236，所以2，由五点作图法可知 232，所以6，所以函数的解析式为 y2sin2x6.(2)已知函数 f(x)sin(x)0，|2 的部分图象如图所示，则 yfx6 取得最小值时 x 的集合为答案x|xk3，kZ解析根据题干所给图象，周期T47123，故2，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点712，0，代入有 27122k(kZ)，再由|0，0，|0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于点3，32 对称，则 m 的值可能为()A.6B.2C.76D.712答案D解析依题意得AB3 32，AB32，解得A 3，B32，T22362，故2，则 f(x)3sin(2x)32.又 f6 3sin3323 32，故322k(kZ)，即62k(kZ)因为|0，0)与 g(x)A2cos x 的部分图象如图所示，则()AA1BA2C3D3解析：选 BC由题图可得过点(0,1)的图象对应的函数解析式为 g(x)A2cos x，即A21，A2.过原点的图象对应函数 f(x)Asin x.由 f(x)的图象可知，T21.54，可得3.故选 B、C.6(多选)函数 f(x)2sin2x3 的图象为 C，如下结论正确的是()Af(x)的最小正周期为B对任意的 xR R，都有 fx6 f6x0Cf(x)在12，512 上是减函数D由 y2sin 2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂解析：选 AB由 y2sin2x3，所以 f(x)的最小正周期为22，故 A 正确；f6 2sin263 0，即函数 f(x)的图象关于点6，0对称，即对任意的 xR R，都有 fx6 f6x0 成立，故 B 正确；当 x12，512 时，2x
