第24讲 等和线、极化恒等式教师
玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨第 24 讲等和线、极化恒等式、三角形五心玩前必备1.等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP OA OB,R，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则 k(定值),反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线.当等和线恰为直线AB时，k 1；当等和线在O点和直线AB之间时，k 0,1；当直线AB在O点和等和线之间时，k 1,；当等和线过O点时，k 0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；2.等和线定理应用背景:在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.3.极化恒等式：.4122bababa在ABC中，若 AM 是ABC的 BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：.21,21ABACBMABACAM定理定理 1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若 AM 是ABC的中线，则.22222BMAMACAB定理定理 2（极化恒等式的三角形模式）在ABC中，若 M 是 BC 的中点，则有.412222BMAMBCAMACAB4.4.三角形的五个三角形的五个“心心”(1).重心：三角形三条中线交点.玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨(2).外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。(3).内心：三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心，称内心。(4).垂心：三角形三边上的高相交于一点.5.三角形“四心”的向量表示(1)在ABC 中，若|OA|OB|OC|或 OA 2OB 2OC 2，则点 O 是ABC 的外心(2)在ABC 中，若GA GB GC 0，则点 G 是ABC 的重心(3)对于ABC，O，P 为平面内的任意两点，若OP OA AB 12BC，(0，)，则直线 AP 过ABC的重心(4)OA OB OB OC OC OA 或者|OA|2|OB|2|OB|2|OC|2|OC|2|OA|2，则点 O 为三角形的垂心(5)|BC|OA|AC|OB|AB|OC 0，则点 O 为三角形的内心(6)对于ABC，O，P 为平面内的任意两点，若OP OA AB|AB|AC|AC|(0)，则直线 AP 过ABC 的内心玩转典例题型题型一一等和线定理应用等和线定理应用例例 1（2017 新课标）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若APABAD ，则的最大值为（）A3B2 2C5D2【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A，(0,0)B，(2,1)D，(,)P x y，由等面积法可得圆的半径为25，所以圆的方程为224(2)5xy，所以(,1)APx y，(0,1)AB ，(2,0)AD，由APABAD ，得21xy ，所以=12xy，玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨设12xzy，即102xyz，点(,)P x y在圆上，所以圆心到直线102xyz 的距离小于半径，所以|2|21514z，解得13z，所以z的最大值为 3，即的最大值为 3，选 A例例 2 2给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的AB上运动若OCxOAyOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值解以 O 为坐标原点，OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B12，32.4 分设AOC 0，23，则 C(cos，sin)，由OCxOAyOB，得cos x12y，sin 32y，所以 xcos 33sin，y2 33sin，8 分所以 xycos 3sin 2sin6，10 分又0，23，所以当3时，xy 取得最大值 2.12 分例例 3 3(2020杭州五校联盟一诊)在矩形 ABCD 中，AB 5，BC 3，P 为矩形内一点，且 AP52，若APABAD(，R)，则 5 3的最大值为_答案102解析建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(x，y)，B(5，0)，C(5，3)，D(0，3)AP52，x2y254.点 P 满足的约束条件为0 x 5，0y 3，x2y254，APABAD(，R)，(x，y)(5，0)(0，3)，玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨x 5，y 3，xy 5 3.xy 2x2y2254102，当且仅当 xy 时取等号，5 3的最大值为102.玩转跟踪1.(2020菏泽一诊)如图,在扇形 OAB 中,60AOB,C 为弧 AB 上的一个动点若OCxOAyOB,则yx4的取值范围是【答案】1,4【解析】如图建立直角坐标系,设此扇形半径为 1,60AOB,所以13(,),(1,0)22AB,由圆的参数方程可知cos(0,)sin,3ccxy为参数，,因为OCxOAyOB,所以13(cos,sin)(,)(1,0)22xy,则有1cos23sin2xyx,解得2sin3sincos3xy,则Y=4xy2 3sin=4cos3,0,3,以下用导数方法求解 Y 函数的最值情况,因为2 34sincos3Y,当0,3时,sin0,cos0,则0Y,即 Y 函数在0,3时是单调递减的,所以当0时,max2 34 1043Y,当3时,min12 3341232Y,综上所述,yx4的取值范围是4,1.玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨2.如图，在正六边形 ABCDEF 中，P 是CDE 内(包括边界)的动点，设AP AB AF(，R R)，则的取值范围是_解析当 P 在CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点的平行线是最远的，所以ANAM，ADAM 3,4答案3,43 如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOA nOB，则 mn 的取值范围是_解析由点 D 是圆 O 外的一点，可设BD BA(1)，则OD OB BD OB BA OA(1)OB.因为 C，O，D 三点共线，令OD OC(1)所以OC OA 1OB(1，1)因为OC mOA nOB，所以 m，n1，所以 mn11(1,0)答案(1,0)题型二题型二极化恒等式的应用极化恒等式的应用例例 4 4(2020广东七校联考)在等腰直角ABC 中，ABC90，ABBC2，M，N 为 AC边上的两个动点(M，N 不与 A，C 重合)，且满足|MN|2，则BMBN的取值范围为_玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨答案32，2解析不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段 AC 的方程为 xy20(0 x2)设 M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知 0a1)，BM(a,2a)，BN(a1,1a)，BMBNa(a1)(2a)(1a)2a22a22a12232，0a1，由二次函数的知识可得BMBN32，2.例例 5（2017 新课标）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC 的最小值是()A2B32C43D1【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)P x y，所以(,3)PAxy ，(1,)PBxy ，(1,)PCxy，所以(2,2)PBPCxy ，22()22(3)22(PAPBPCxyyxy 2333)222，当3(0,)2P时，所求的最小值为32，故选 B玩转跟踪1.1.在ABC中，60BAC若2AB，3BC，D在线段AC上运动，DADB的最小值为2.2.已知AB是圆O的直径,AB长为 2,C是圆O上异于,A B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则PAPBPC 的最小值为_3 3 在ABC中，3AB，4AC，60BAC，若P是ABC所在平面内一点，且2AP，则PB PC 的最大值为玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨题型题型三三三角形五心三角形五心例例 6已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足|ABACOPOAABAC ,0,).则 P 点的轨迹一定通过ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心解解：由已知得|ABACAPABAC ，|ABAB 是AB 方向上的单位向量，|ACAC是AC方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点 P 在BAC 的角平分线上，故点 P 的轨迹过ABC 的内心，选 B.例例 7已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()OPOAABAC ,0,).则 P 点的轨迹一定通过ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：解：由已知得()APABAC ，设 BC 的中点为 D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过ABC 的重心，选 C.例例 8已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()|cos|cosABACOPOAABBACC ,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：解：由已知得()|cos|cosABACAPABBACC ，()|cos|cosAB BCAC BCAP BCABBACC =|cos()|cos()|cos|cosABBCBACBCCABBACC =(|)BCBC =0，APBC ，即 APBC，所以动点 P 的轨迹通过ABC 的垂心，选 B.例例 9已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()2|cos|cosOBOCABACOPABBACC ,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心玩转数学2020 一轮复习完美题型汇编安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨解：解：设 BC 的中点为 D，则2OBOCOD，则由已知得()|cos|cosABACDPABBACC ，()|cos|cosAB BCAC BCDP BCABBACC =|cos()|cos()|cos|cosABBCBACBCCABBACC =(|)BCBC =0.DPBC，P 点在 BC 的垂直平分线上，故动点 P 的轨迹通过ABC 的外心.选 C.玩转跟踪1.已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()|sin|sinABACOPOAABBACC ,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心解：解：由已知得()|sin|sinABACAPABBACC ，由正弦定理知|sin|sinABBACC，()|sinA
