第5讲立体几何选择压轴题（解析版）

第5讲 立体几何选择压轴题一、单选题1（2021·浙江超级全能生3月联考）如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（ ）AB1CD【答案】C【分析】过作交BC于E，连接EH，结合已知条件有二面角的平面角为，而，设且，则，即可求，应用函数与方程思想，构造且在上有解求参数m的范围，即可得二面角正切的最大值【解析】过作交BC于E，连接EH，在平面内的射影恰好落在线段上，即面，且，即面，面，则，二面角的平面角为，在中，若令，则，又，且，故，则，即方程在上有解时，m的最大值即为所求，而开口向上且，即，对称轴当时，显然成立；当时，当对称轴在上，恒成立；当对称轴在上，即；综上，有，即，故二面角的正切的最大值为故选C【点睛】关键点点睛：利用三垂线定理找到二面角的平面角，进而根据线段关系、勾股定理求，由，结合函数与方程的思想求参数m范围，进而确定最大值2（2021·浙江宁波模拟）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则ABCD【答案】B【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小而充分利用图形特征，则可事倍功半【解析】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，即，综上所述，答案为B方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）由最大角定理，故选B方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得，故选B【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）在三棱锥中，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为ABCD【答案】B【分析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为， 则二面角的平面角为，点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形，设，则，解得，所以，设，则，解得，球的半径，所求外接球的表面积为，故选B【点睛】本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题4（2021·天一大联考（理）在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【分析】由题意可知，点在所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，长轴长为，然后以线段的中点为坐标原点，直线所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得的最大值【解析】如图所示，在平面内，所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，所以，椭圆方程为点在底面的投影设为点，则点为的中心，故点正好为椭圆短轴的一个端点，则，因为，故只需计算的最大值设，则，则，当时，取最大值，即，因此可得，故的最大值为故选B【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用5（2021·四川成都市·高三二模（理）已知四面体的所有棱长均为，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点有下列结论：线段的长度为1；若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；的余弦值的取值范围为；周长的最小值为其中正确结论的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】将正四面体放在正方体中观察，对于，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；对于，取为的中点，取为的中点，此时与相交；对于，计算可得，由逼近思想可作出判断；对于，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出【解析】在棱长为的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体，显然，分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故 对；对于：如图，取为的中点，取为的中点，取为的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时与相交于，故错；对于，又有，故，故点无限接近点时，会无限接近，故的余弦值的取值范围不为，错误；对于，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，故有，当且仅当为中点时取最小值，故在正方体中，故周长的最小值为，故对，故选B【点睛】把空间中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离最短的问题，从而使问题得到解决，这是求空间中最短路线的一种常用方法6（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理）四面体的四个顶点都在球O上且，则球O的表面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】作出图形，根据题中的数据证明平面平面，并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果【解析】取的中点，连接，设和的外心分别为，分别过点作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心由题意可知，和都是边长为4的等边三角形为的中点，且，平面，平面，平面平面，易得，平面，平面AM，同理可得DM，则四边形为菱形，菱形为正方形，平面，平面，所以外接圆半径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选B【点睛】这个题目考查了外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算外接球的半径是解答的关键，考查推理能力与计算能力7（2021·山东日照市·高三一模）已知直三棱柱的侧棱长为，过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）ABCD【答案】C【分析】确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长【解析】如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、，为的中点，则，平面，平面，平面，、分别为、的中点，则且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即为平面，设平面交于点，在直棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，设平面平面，平面，所以，所以，四边形为平行四边形，可得，所以，为的中点，延长交于点，所以，又，所以，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，为的中点，则，为的中点，则，同理，因为直棱柱的棱长为，为的中点，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，、分别为、的中点，则，由勾股定理可得，同理因此，截面的周长为故选C【点睛】思路点睛：本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置8（2021·山东滨州市·高三一模）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ）A圆B椭圆C双曲线的一部分D抛物线的一部分【答案】B【分析】首先建立空间直角坐标系，设，则点的轨迹是椭圆【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设所以点的轨迹是椭圆故选B【点晴】方法点睛：本题考查空间向量、轨迹及其方程，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型9（2021·山东淄博市·高三一模）四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则下列结论正确的是（ ）A棱上存在点使得面B当落在上时，的取值范围是C当落在上时，四棱锥的体积最大值是2D存在的值使得点到面的距离为【答案】A【分析】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD利用面PDE面BFS，可以证明面；对于B：利用时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，判断B错误；对于C：求出体积的最大值为1故C错误；对于D：先判断当的最大时，点B到面的距离d最大；然后求出，判断D错误【解析】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PDPE为BCS的中位线， PEBS又面BFS，面BFS，PE面BFS；在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，DEBF，又面BFS，面BFS，DE面BFS；又，面PDE面BFS，面故A正确；对于B：为等边三角形，当时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，故B错误；对于C：在RtSHE中，当且仅当时，的最大值为1故C错误；对于D：由选项C的推导可知：当的最大时，点B到面的距离d最大此时故D错误故选A【点睛】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与已知直线平行；(2)等体积法是求三棱锥高的常用方法10（2021·湖北武汉市·高三月考）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，是线段上一点，且过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】将三棱锥补成长方体，设，计算出球的半径为，计算出截面圆半径的最大值和最小值，根据已知条件可求得的值，可求得球的半径，进而可求得球的表面积【解析】平面，将三棱锥补成长方体，如下图所示：设，连接、，可知点为的中点，因为四边形为矩形，则为的中点，所以，且，设，且，所以，球的半径为，在中，在中，由余弦定理可得，平面，平面，平面，则，设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，此时，取最小值，即由题意可得，解得所以，因此，球的表面积为故选B【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可11