8 组合变形

1,材 料 力 学,2018年2月19日,第八章组合变形及连接部分的计算,2,第八章 组合变形,本章内容:§8. 1 概述§8. 2 两相互垂直平面内的弯曲§8. 3 拉伸（压缩）与弯曲§8. 4 扭转与弯曲§8. 5 连接件的实用计算§8. 6 铆钉连接的计算,3,§8. 1 概述,1 组合变形,基本变形,拉伸、压缩,剪切,弯曲,扭转,组合变形,有两种或两种以上的基本变形同时发生。,求解组合变形的方法,将载荷分为几组分别产生基本变形的载荷，然后应用叠加原理。,4,2 叠加原理,如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。,叠加原理成立的条件,(1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律；(2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。,5,§8. 2 两相互垂直平面内的弯曲,内力图,弯矩：My(x)=F1 x Mz(x)=F2 (x-a),危险截面（点）分析,x 截面上C 点处的正应力为,中性轴的方程：,6,中性轴的方程：,中性轴与y轴的夹角q为,其中j 角为合成弯矩 与y的夹角。,只要 IyIz ，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。通常又把这类弯曲称为斜弯曲,7,例8-1 图示20a号工字钢悬臂梁上的均布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 。试求梁的许可荷载集度q。已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3，Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力s =160 MPa。,8,解：,1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为,9,2. 作梁的计算简图，并分别作My 图和Mz 图,10,3. 确定此梁的危险截面(点)。 A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面。D 截面上Mz 最大：,MzD=0.456 qa2 ，,MyD= 0.444 qa2，,11,比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。,危险点在A截面上的外棱角D1和D2处,D 截面上Mz 最大：,MzD=0.456 qa2 ，,MyD= 0.444 qa2，,12,比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。,危险点在A截面上的外棱角D1和D2处,13,危险点在A截面上的外棱角D1和D2处,4. 求许可荷载集度q。,根据强度条件 ，有 （21.5×10-3)q 160×106 Pa,14,§8-3 拉伸(压缩)与弯曲,1. 横向力与轴向力共同作用,弯拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。,弯曲与压缩组合变形的杆件只有杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。,15,1.作内力图,2. 危险截面(点）,例8-2 如图所示弯曲与拉伸组合，求危险截面应力分布及最大应力,解：,16,最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把tmax直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。,2. 危险截面(点）,17,最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把tmax直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。,思考： 大刚度杆弯曲与压缩组合变形的最大压应力应如何计算,18,例 8-3已知：P = 8kN,AB为工字钢，材料为A3钢， = 100MPa。,解：,求: 工字钢型号。,AB受力如图,这是组合变形问题 压弯组合。,求约束反力,19,求约束反力,内力图,危险截面：,C 截面,20,危险截面:,C 截面,设计截面的一般步骤,先根据弯曲正应力选择 工字钢型号； 再按组合变形的最大正 应力校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢； 若剪力较大时，还需校核剪切强度。,21,按弯曲正应力选择工字钢型号,选16号工字钢,按最大正应力校核强度,22,按最大正应力校核强度,拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是单向应力状态。,可以使用,本题不需要校核剪切强度,23,2. 偏心拉伸(压缩),设O为形心，y轴和z轴均为形心主惯性轴。力作用点A的坐标：yp, zp .,弯矩：,内力：,轴力：,24,坐标为 y, z 的B点的应力：,应力,弯矩：,内力：,轴力：,25,惯性矩可表为：,是一个平面方程,它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线规律变化。,26,中性轴位置,设中性轴上的点的坐标为 y0, z0。,在上式中令为零，得：, 中性轴方程,它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线规律变化。,27, 中性轴方程,设中性轴在y轴和z轴上的截距为ay, az ，则有：,由上可知：1) 力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压，一部分受拉；,28,中性轴与z轴的夹角b 的正切为,29,若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上(即tana=0)或者作用在形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tana ,即中性轴垂直于力偶矩Fe所在的纵向面；,由此式可知：,2.当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana 0,tana 90°时，只要横截面的形心主惯性矩IzIy， 则中性轴就不与力偶矩Fe所在的纵向面垂直。,30,横截面上危险点的位置,横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截面的外棱角处。,由此式还可以看出，如果偏心距e(亦即yF , zF)较小，则横截面上就可能不出现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。,31,例 8-4 已知：铸铁框架，t=30MPa, c=160MPa。,解：,求：许可载荷P (kN)。,几何参数,32,求内力(作用于截面形心),几何参数,33,几何参数,危险截面,各截面相同,应力分布,求内力(作用于截面形心),取研究对象如图,34,FN引起的应力,My引起的应力,危险截面,各截面相同,应力分布,35,最大拉应力,最大压应力,36,最大压应力,最大拉应力,由抗拉强度条件,由抗压强度条件,结论,37,3.截面核心,在土木工程中，对于受偏心压缩的混凝土、大理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。,使横截面上不出现拉应力的压力作用点的集合，称为截面核心。,要使坐标为r, s 的C点的应力为零，则由,38,3.截面核心,要使坐标为r, s 的C点的应力为零，则由, 直线pq的方程,当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保持为零。,中性轴通过C点，但方位不断变化。,39,当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保,持为零。,中性轴通过C点，,但方位不断变化。,截面核心的确定,设AE为中性轴中性轴的截距为ay, az，由：,a点坐标,设AB为中性轴,b点,40,截面核心的确定,设AE为中性轴中性轴的截距为ay, az，由：,a点坐标,设AB为中性轴,b点,同理可确定c, d, e点。,连线可得到截面核心。,41,例8-4 已知:矩形截面,解：,求：截面核心。,对矩形截面,设AB为中性轴,a点坐标,AB直线的截距为：,由：,42,设AB为中性轴,a点坐标,AB直线的截距为：,由：,设BC为中性轴,b点坐标:,同理可确定 c, d点坐标,连线得截面核心。,43,§8. 4 扭转与弯曲,常见的弯扭组合变形的构件主要有,圆轴类,曲杆类,这里主要考虑圆形截面杆的弯扭组合变形。,例子,44,例子,45,46,内力图如图,危险截面,E截面,E截面的内力,47,E截面的内力,对圆截面杆,可将两个方向的弯矩按矢量合成。,48,对圆截面杆,可将两个方向的弯矩按矢量合成。,危险点的应力,扭转切应力,弯曲正应力,弯曲切应力,一般可忽略,49,危险点的应力,扭转切应力,弯曲正应力,弯曲切应力,一般可忽略,危险点的应力状态,相当应力,50,相当应力,用内力表示的相当应力,对圆截面杆,同样可得,51,同样可得,矩形截面杆的弯扭组合变形问题,两个方向的弯矩不宜合成，可分别计算应力。 扭转切应力按矩形截面扭转公式计算。,52,例 8-5 已知：传动轴, 45号钢，d=35mm, =85 Mpa, 输入功率 N= 2.2kW，n=966r/min。D=132mm，F+f = 600N。齿轮E的d1=50mm。,求：校核轴的强度。,53,解：,求外力,力偶矩,皮带张力,又,齿轮作用力,将各力向轴线简化,54,齿轮作用力,将各力向轴线简化,画出内力图,55,将各力向轴线简化,画出内力图,危险截面,B截面,B截面内力,56,危险截面,B截面,B截面内力,强度校核,按第三强度理论校核,安全,57,补充： 拉伸（压缩）与扭转的组合,y,58,拉伸（压缩）、弯曲与扭转的组合,59,§8. 5 连接件的实用计算,螺栓连接主要有三种可能的破坏：,. 螺栓被剪断,.螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）；,. 钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。,60,1.剪切的实用计算,钢杆的受剪,螺栓的受剪,61,键的受剪,销轴的受剪,铆钉的受剪,62,剪切件的特点,受力的特点,杆件两侧作用有两个大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。,变形的特点,两外力作用线间的截面发生错动。,剪力,受剪面上的剪力,63,剪力,简化假设：,切应力在受剪面上均匀分布。,受剪面上的剪力,切应力计算,名义切应力：,受剪面的面积。,强度条件,64,例8-5 已知：插销材料为20钢，t=30MPa，直径d=20mm, t = 8mm, 1.5t =12mm, P =15kN。求：校核插销的剪切强度.,解：,插销受力如图。,具有两个剪切面：,双剪问题。,取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。,65,解：,插销受力如图。,具有两个剪切面：,双剪问题。,取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。,剪切面的面积,结论：满足剪切强度要求。,66,例 8-6已知：钢板厚 t =10mm,其剪切极限应力tu=300 MPa。求：要冲出直径d =25 mm的孔，需多大冲剪力P？,解：,剪切面是哪一个面？,剪切面的面积,67,2.挤压的实用计算,