七年级数学上册教材解读
优士达教育 www.ustaredu.cn第二章 有理数及其运算1 有理数知识点1 用正数、负数表示具有相反意义的量【要点提示】用正数和负数可以表示具有相反意义的量。如果规定其中一种意义的量为正的,用正数来表示,则与其意义相反的量为负的,用负数来表示。【注意】(1)习惯上用正数和负数表示具有相反意义的量,常把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。像7,1,6,9等这样大于0的数叫作正数。在正数前面填上符号“-”,如-3,-14,-156,-420等这样的数叫作负数。(2)在用正数和负数表示具有相反意义的量时,究竟哪种意义的量是正的,是可以任意规定的。(3)具有相反意义的量是成对出现的,单独的一个量不能成为具有相反意义的量。(4)具有相反意义的量,只要求意义相反,而不要求数量一定相等。如盈利1000元与亏损400元、零上4与零下7,都是具有相反意义的量。(5)具有相反意义的量必须是同类量。如盈利200元与出口200箱就不是具有相反意义的量。(6)正数前面的“+”可以省略,但负数前面的“-”不能省略。基本题型 一 运用正数、负数表示具有相反意义的量【易错点】(2)0不再仅仅表示没有,在不同的实际问题中,它具有不同的意义。如0表示一个温度,海拔0m表示海平面的平均高度【例1】(1)天气预报说某地12月某天的最高气温是零上8,最低气温是零下5。若规定零上温度为正,则零上8记作_,零下5记作_;(2)记账时,若收入1000元记作+1000元,则-500元表示_;(3)若+20表示增加20,那么-6表示_。知识点2 有理数的定义及其分类 重点分类定义按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类有理数整数与分数统称为有理数正整数:如30 整数负整数:如 -3有理数 正分数:如 31负分数:如-正整数:如3正有理数正分数:如 1有理数负整数:如-3负有理数负分数:如-解 读 【要点提示】(2)0是一个特殊的数,它既不是正数,也不是负数,但它是整数。 (3)1是最小的正整数,0是最小的自然数,-1是最大的负整数。分数优士达教育 www.ustaredu.cn拓 展有理数的几点说明(1)通常把正数和0统称为非负数;负数和0统称为非正数;正整数和0统称为非负整数,也叫自然数;负整数和0统称为非正整数。(2)因为有限小数、无限循环小数、百分数都可以转化为分数,所以把有限小数、无限循环小数、百分数都看成分数,所以他们都是有理数基本题型 二 有理数概念的考查【例2】在- , ,0,0.44,0.202 002 71930002(相邻两个2之间0的个数逐次加1)中,有理数的个数为( )。A.1 B.2 C.3 D.4规 律 总 结(1)凡是整数和分数都是有理数,若不是整数或分数(包括可化为分数的小数),则这个数一定不是有理数。(2)因为有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以它们都是有理数,而无限不循环小数不是有理数。(3)含有的数,如2, 等都不是有理数。3基本题型 三 对有理数进行分类【例3】将下列个数按要求分别填入相应的集合中:- ,13,-2,+6, ,0,0.8,3 ,-4.2,-0.6.217241正有理数集合: ;正数集合: ;非负整数集合: ;负分数集合: .规 律 总 结(1)正数与整数的区别:正数是相对于负数而言的,而整数是相对于分数而言的。(2)0既不是正数,也不是负数,但0是整数。(3)任意有限小数和无限循环小数都可以转化为分数,因此这些小数都可以看成分数,如2.4,-3.16,-0.8都可以看成分数。(4)每个集合最后应填“”,表示除了已填入的数外,还有其他的数。类型一 有理数的有关概念的综合考查【例4】(中)下列说法中,正确的共有( ).一个有理数不是整数就是分数;0既不是正数也不是负数,所以0不是有理数;分数是有理数;所有的正有理数都是整数。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个类型二 正数、负数在实际生活中的应用【例5】(中)学习了正数、负数后,小明统计了本市2012年6月份某些粮食的价格,又从网上查到了2011年6月份同种粮食的价格,计算出的价格上涨幅度如下表:种类 小麦 大米 玉米 大豆 花生上涨/ 2.5 1.3 -2.6 -1.5 -3.5优士达教育 www.ustaredu.cn哪些粮食的实际价格上涨了?哪些粮食的实际价格下降了?类型四 探究与有理数相关的树阵排列【例7】(难)图是按一定的规律排列的数阵,请猜想它的第10行的第1个数是什么?1- 2 3- 4 5 - 67 - 8 9 - 10 11 - 12 13 - 14 15 2 数 轴知识点1 数轴的定义和画法 重点数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。解读:【要点提示】(1)数轴是一条可以向两端无限延伸的直线,但直线不一定是数轴;数轴有三要素:原点、正方向、三位长度,三者缺一不可。原点右边的数为正数,原点左边的数为正数。(2)原点的确定和单位长度的大小可根据各题的实际需要灵活选取;(3)注意:同一个数轴上的单位长度必须统一。【易错点】画数轴时易出现的错误:(1)三要素不全;(2)单位长度不统一;(3)未化成直线;(4)将正负数的位置标错;(5)标负数时丢掉负号等基本题型 一 识别数轴知识点2 数轴上的点与有理数的关系 重点数轴上的点与有理数的关系:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。【点的位置】:(1)零用圆点来表示;(2)正有理数用数轴上原点右边的点来表示;(3)负有理数用数轴上原点左边的点来表示。基本题型 二 识别数轴上的点表示的有理数及有理数在数轴上的表示技 巧 点 拨由数找点或由点找数都是从原点开始分别向右或向左进行。对于一些分数(或小数),找它所对应的点需要先进行估计,然后再表示。优士达教育 www.ustaredu.cn知识点3 有理数的大小比较 难点有理数的大小比较的依据:(1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大;(2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数。【要点提示】:(1)在同一条数轴上,右边的树比左边的数大,不在同一条数轴上不能利用该依据进行大小比较。基本题型 三 利用数轴比较有理数的大小【例3】 在数轴上把2.5,0,- ,-1,-2.5,1 ,3 434表示出来,并用“”将它们连接起来。方 法 点 拨一般地,比较多个有理数的大小,常见的有两种情况:(1)对异号的数而言,正数0负数;(1)对同号的数而言,同一数轴上,左边的数右边的数。类型一 结合数轴探索点的运动特点【例4】(中)点M在数轴上移动时,点M所对应的有理数就会发生变化。点M从原点开始,向右移动3个单位长度,这时点M所对应的有理数是什么?点M从原点开始,先向左移动4个单位后,又向右移动6个单位长度,这时点M所对应的有理数是什么?类型二 利用数轴解决数轴上两点间的距离问题【例5】(难)数轴上有A,B两点, A,B两点之间的距离为1,点A与原点的距离为3,求满足条件的点B与原点之间的距离。方 法 点 拨数轴可将有理数从“数”转化到“形”,从而借助数轴直观地分析得出结果。注意考虑解的多种可能情况。类型三 数轴中整数的位置的确定 在求某个范围内的整数时,借助数轴既直观又准确。方 法 点 拨类型四 利用数轴解决实际问题【例7】(中)一条东西走向的马路边有汽车站、邮电局、百货商店、报刊亭等建筑物,邮电局在汽车站西50m处,报刊亭在汽车站和邮电局之间,距邮电局20m处,百货商店在报刊亭东10m处,请说出百货商店在汽车站的哪边,距离汽车站多远。规 律 总 结把实际问题转化为数轴上有关数的问题,通过“数”与“形”的结合,可以直观地得出结论。易错点 1 画数轴时三要素不全或对定义理解不透彻优士达教育 www.ustaredu.cn【例9】(易)请画一条数轴。易错点2 对数轴上点之间的距离考虑不全面【例10】(中)点A在数轴上距离原点3个单位长度处,将点A先向右移动4个单位长度,再向左移动7个单位长度,此时点A所表示的数是_。