勾股定理例题详解

勾股定理例题详解1.如图所示，在ABC 中， D 是 BC 边上的点，已知AB13 ，AD12，AC15，BD5，求 DC 的长。2.如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是斜边 BC 的中点，E 、F 分别是AB、 AC 边上的点，且 DEDF，若 BE12，CF5求线段 EF 的长.解：连接 AD因为BAC 90°，ABAC又因为 AD 为ABC 的中线，所以 ADDCDBADBC 且BADC 45° 因为EDA ADF90°又因为CDF ADF90°所以EDACDF 所以AEDCFD（ASA） 所以 AEFC5 同理：AFBE12在 Rt AEF 中，由勾股定理得：EF 2=AE2+AF2=52+122=132，所以 EF13. 思路总结：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识，通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.3.直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积 .解：设此直角三角形两直角边长分别是 x、y ，根据题意得：由（1）得：x+y=7，所以(x+y) 2=49=x2+2xy+y2 (3)(3)-(2),得： xy=12.所以三角形面积=1/2xy=6.练习详解1.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AB6 ，BC8 ，将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC 上， 折痕为 AD，则 BD？设点 B 落在 AC 上的 E 点处，设 BDx，则 DEBDx，AE AB6，CE4，CD8 x，在 Rt CDE 中根据勾股定理列方程最后得出为 3.2.两种方法作比较，第一种是从上面走，路长为 10：8 2+62=102；第二种是从前面走，路长为106：9 2+52=106.因此最短路线长为 10.3.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取,BC 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50 米，°，则江面的宽度为？由°可得，AB=2BC=100 米，又因为 AC 垂直于BC，有勾股定理：AC 2=AB2BC2=1002502=7500，AC=7500=503.4.我校有一块四边形的空地 ABCD，如图所示，为了美化我们的校园，现计划在空地上种植草皮，经测量A90°， AB3m，BC12m ，C D13m ，DA4m，若每平方米草皮需要 200 元，问学校需要多少元的资金投入？思路分析：连接 BD，先根据勾股定理求得 BD 的长，再根据勾股定理的逆定理证得BDBC，然后根据直角三角形的面积公式求得四边形 ABCD 的面积，最后根据每平方米草皮需要 200 元即可求得结果.连接 BD，如图所示：A=90 °，AB=3，AD=4在 RtCDB 中，AD 2 +AB 2 =BD 2 4 2 +32 =BD2 BD=5 又BC=12，CD=135 2 +12 2 =25+144=169=13 2 BD 2 +BC 2 =CD 2 所以CBD 为直角三角形，即 BDBC S 四边形 ABC D =SABD + SCBD = 1/2×3×4+1/2×5×12=36(m 2 )共需投入的资金为：200×36=7200（元）.5.如图，ACCE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求 ACACCE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，EC 2=EB2BC2=122，EC=12DE=7，CD=5，AC=12