数学人教B版必修3导学案：§1.3中国古代数学中的算法案例含解析

该资料由 友情提供体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，导学生得出自己设计的算法步骤、会算法的基本思想，提高逻辑思维能力， 辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数 m，余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 新被除数和余数：m=n，n=断余数 r 是否为 ，则输出结果；到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的， 更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用 2 约简；若不是，较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数） 用辗转相除法求 288 与 123 的最大公约数例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程该资料由 友情提供（选做）：用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324,243,135 （1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数.（2）用更相减损术求 80 和 36 比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0， 割圆术阅读教材 28 页案例 4 秦九韶算法提出问题（1）求多项式 f(x)=4x+1 当 x=2 时的值有哪些方法？比较它们的特点 .（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约 12021261）在他的著作数书九章中提出了下面的算法：把一个 n 次多项式 f(x)=+写成如下形式：f(x)=+a +a1）x+ （a +a2）x+a 1)x+=（a nx+x+a x+a 1）x+a 先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v3=vn=样，求 n 次多项式 f（x）的值就转化为求 n 已知一个 5 次多项式为 f（x）=5x 5+2，用秦九韶算法求这个多项式当 x=5 情提供：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x+1.7)按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5 时的值：；×5+2=27;7×5+38.5;89.9;+ 451.2; 7 以，当 x=5 时，多项式的值等于 17 题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,九韶算法适用一般的多项式 f(x)=+加法最多 n (n到最多 n 次，加法最多 n 已知多项式函数 f(x)=2x 4+3x+7 ，求当 x=2 果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 f(x)=7x2+x 当 x=3 时的值.1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.