降低基尼系数的两种方法

研究领域：卫生、教育和福利经济学 显著性和稳定性降低基尼系数两种方法的效应评价 ABSTRACTThe thesis discusses two methods of reducing Gini coefficient as well as their efficiency. To start with, we derive the formula of Gini coefficient under the discrete condition, based on which we advance two ways of reducing Gini coefficient. One is Average Distribution Method. The other is the Optimal Method. At last we consider the effectiveness and stability of the two methods. According to the models we establish we find that: a) The bigger the initial Gini coefficient it is, the more effective the Average Distribution Method works; b) Under some circumstance, there is the optimal result for reducing Gini coefficient, but its stability is the worst.内容提要：本文着重讨论降低基尼系数的两种方法及其效果。首先，重新推导了基尼系数的表达式。在此基础上，再就一定条件下降低基尼系数提出两种解决方法，即平均分配方法和最优降低基尼系数的方法，并建立相应的数学模型。最后，分别分析了这两种方法的显著性和稳定性。通过研究这两种降低基尼系数的方法发现：（a）基尼系数越大、平均收入越低的地区采用平均分配方法更有效；（b）一定条件下，最快降低基尼系数的解是存在的，但是按这个方法形成的基尼系数的稳定性最差。关键词： 基尼系数 收入水平 显著性 稳定性 一、 导言从统计学的角度看，基尼系数是基尼平均差的函数，它用来度量一个分布的离散程度，与方差或标准差一样被当作分布不均等的指标。但是，从 1912 年基尼系数问世以来，基尼系数被普遍用来衡量收入的不平等。后来，Atkinson （1970 ） 、Sen（1973） 、Blackorby 和Donaldson（1978）将基尼系数和社会福利函数结合，考察表示不平等的基尼系数和社会福利函数之间的关系。研究表明，不平等的程度越高，不平等导致的社会福利损失就越大。近十年来，中国的基尼系数呈逐年上升趋势，表明我国收入不平等的状况不仅没有随着经济增长而逐渐缓解，反而有不断恶化的倾向，为经济发展付出的福利代价在增大。为此，迫切需要寻找降低基尼系数的方法。传统的降低基尼系数的方法是根据“庇古道尔顿转移支付原理” ，通过再分配使一部分财富从富人手中转移到穷人手中。庇古道尔顿转移支付原理（道尔顿，1920）认为，如果社会中有穷人和富人，假定在不改变穷人和富人的相对贫富地位的前提下，使富人的财富转移给穷人，这种转移的极限是使两者完全平等，那么整个社会的不平等就会减少。而基尼系数是基尼相对平均差的二分之一，因为相对平均差符合转移支付原理，所以基尼系数也符合庇古道尔顿转移支付原理。Jenkins（1991）用微分的方法证明了当这种转移支付很小时，基尼系数的值也将减少。Chankravary（1990）进一步分解了收入群体和收入来源，希望了解社会各个群体的收入不平等以及各个收入来源的组成部分的不平等是如何影响总体不平等，在此过程中探索降低基尼系数的途径。本文在试图解决降低基尼系数的方法上延续了 Chankravary 的思路，从收入群体和收入来源的角度考虑。但是，由于基尼系数本身难以按收入来源分解，因此本文讨论的将被转移的财富是外生给定的，研究如何分配这个外生财富以降低基尼系数，并探讨这个外生财富在分配给不同群体时产生的不同效应。本文第二部分推导出基尼系数新的表达式，这是以后分析的基础。第三部分通过建立数学模型分析了降低基尼系数的两种方法。第四部分和第五部分分别对这两种方法的显著性和稳定性进行说明。二、 基尼系数的另一个表达式基尼系数最初是作为一个表达分布不均等的指标而提出的。在很长的一段时间内，人们只是把它和方差或标准差当成作用类似的分布不均等的指标。在后来不断的完善过程中，逐渐形成了基尼系数各种不同的公式及其解释。基尼系数可以表示为单位正方形中由 45 度线和洛伦兹曲线所定义的两个面积之比，可以表示为基尼的平均差的函数，可以表示为收入和收入按收入大小排序的序数的斜方差，还可以表示为若干特定的矩阵表达式。 （徐宽，2003）这些表达方式在特定的条件下都有其自身的优点。推导基尼系数有两条思路，一种是以离散分布为基础，另一种是以连续分布为基础。后者需要某些有关分布连续的条件，前者不需要这些条件。我们的推导以离散分析为基础，将所研究对象的人口收入排序， 同时借用了基尼系数单位正方形中由 45 度线和洛伦兹曲线所定义的两个面积之比的定义。这种推导方法应证了 Dorfman（1979）的想法：不管是以离散分布为基础还是以连续分布为基础，这两者是相互统一的。 做以下符号约定：记某个国家的人口的指标集为： I某个人的收入记为： ixiI其 中记 ，即某个国家或地区的人的收入的集合为： ixI A记 中元素的个数，即指标集 的元素的个数为：AI N记 ，即该国的人的收入的总和为： iIR记平均收入 为：RNx记基尼系数为： G将集合 中的元素排序，得到A（其中 ） ijklxx ,ijklI按照上面的排序，将处在第 位的改记为 ，仍记指标集为 ，于是有：nnx121Nxx设 是一个 维向量，令 ，其中XN121(,)NXxx就是上面排序后的数。称 为收入向量。(1,2,)ix根据洛仑兹曲线的定义，其横坐标是人口按收入由低到高分组的累积百分比，纵坐标是收入的累记百分比，于是有参数方程（参数为 n）：(1)1()()niHNxMR在这里，将洛仑兹曲线视为由离散的点 连成的折线。然后计算因(),n为洛伦兹曲线划分成的不平等面积和完全不平等面积之比，如图 1，得到基尼系数公式：(2)21aabSGS图 1 图 2 计算 的面积这里采取以下的办法，先假定某个国家有四个人，那么按上述的方aS法描点连线得到图 2，再分段计算不平等面积，有 。下面就用这1234aSS样的方法计算基尼系数,于是有：(3)1 111122NNNiiiiNiiiiiiai HMHMS （上式中为了计算的方便，约定 ）0将参数方程(1)代入(3)有：(4)11()inNiaxRS1122Ni Ninni ixxR上式中的 ，显然，如果一个国家的人口数量级在 到2 710， 910，忽略 ，于是有：7102N12N(5)1()NinixGR而 (6)1Ninix1()Nii x将(6)代入(5)于是得到基尼系数公式：(7)1()2Nii xGR三、 降低基尼系数的两种方法假设有待分配的外生财富 （为了讨论的方便，假设已折算成货币） ，在保证收入排W序不变（即如果分配前甲的收入比乙的高，则分配后也必有甲的收入比乙的高）的条件下，如何分配 才能降低基尼系数。也就是说，讨论降低基尼系数的方法是在保证收入排序不变的情况下，对外来的财富进行分配。方法一： 平均分配的方法假定按照平均分配的原则分配财富 ，即设每个人收入的增量都是 ,那么WN， 变成 。记 为原来的基尼系数， 为分配后的基尼系数，根据公式iIixi1G2G（7）有：(8)1112 2()()()NNN ii iii xixRRGR 令 (9)12()Nii xPR将（9）代入公式（7）得： (10)1G显然， 是常数且 。将公式（9）代入公式（8）得：P1(11)()(1)NPNPR故在 ，即 时 的充要条件是 ，也就是说等量的增加每个人的收入10G00可以降低基尼系数。反之，每个人的收入都等量降低了，基尼系数将升高。 方法二： 最优方法平均分配的方法是可以降低基尼系数的，下面探讨在 下使得基尼系数降低最大的方法。W记 是分配前的收入向量(1)(1)2,NXx是分配后的收入向量()()21根据所要求解的问题，有目标函数：21minG根据假设的分配原则有约束条件：(1)(2)(2)(1)1,iiNiiixiNxW其 中其 中此时 21G(2) (1)1 1( (NNi ii ixxRR (12)(1)(2)1 1(2)NiiixWGW注意到公式（12）中 和 是常数且非负，因此，要使 最小，1()GR()N G只需要有 最小。令 （其中 ）记向量(1)(2)1(Niiix(2)(1)iiiyx,2iN。显然， 中的第 维表示第 人的收入增加量。上面的问题转化为：2,NYyYii1min()()Niifyst： (1)(1)10,21ii iNiyxNyW其 中 其 中记这个线性规划问题为 。在集合 的元素给定具体数值情况下，上面线性规划问LPA题的最优解可以由单纯形法得到，在一般情况下有关于上述问题的最优解命题（ 最优解命题的证明参见附录 1：最优解命题证明）是：如果 是上面线性规划问题的最优解，那么 满足：YY，如 果 的第 维 ，那么对 ，有()pNp0y(1)ip，即有： 。(1)(1)iipxy(2)()ipx命题说明，如果设第 维就是最后一个满足 的那一维，则所有 以前的维都有py，即有 。(1)(1)iipxy(2)()ipx图 3 更形象地说明了最优解命题。 在图 3 中 的下标 为横坐标， 的数值为纵坐标，ixiix描出来图形是离散的点（图中的十个点对应十个人的情况， ） ，用适当的平滑曲线将这些点连接，于是得到图 3。如果把图 3 中的曲线看成河道， 把待分配的财富 看成是注入河W道的水的总量。那么水首先流入河底，接着水位上涨。也就是说，财富首先分给最低收入的人，然后再分给次低收入的人，按照收入从低到高的顺序进行分配，这时基尼系数降低最大。如果水充分的多，那么整个河道将被淹没，也就是说，如果 充分大，使基尼系数降低最大的方案是使每个人的收入在分配后都一样，W基尼系数降低为 0。在 充分大的情况下，平均分配方法和最优方法都能使基尼系数下趋于 0。在平均分配法中令 ，对 ，即任意二人的,(1,)ijxiN(1)(2)(1)()iiijjjxx收入将趋向于相等，此时有 ，即()(1)PGR。在最优法中，可以看出，当 充分大，可以使得211()0G W，那么由最优解命题也有 。其实，在 充分大的情况下，Nx (,)ijxiN平均分配方法和最优方法都能使基尼系数下趋于 0 的结论可以从基尼系数的定义中得到。当洛