第十三章柱坐标下的分离变量法BESSEL 函数

Methods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU1Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts:以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解引入各种柱函数（Bessel 函数、虚宗量 Bessel 函数和球 Bessel 函数等） 。在分析这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1. 柱坐标系下的稳定问题（Laplace 方程）（1）22 2110,uuuz即： （2）22.z令 ，代入（2）得：(,)()(uzRZz（3）0.RZ得：2(3)Z（4）2' .RZ分离变量得： 20.(5)' .6Z（5）与周期性边界条件 (),()构成本征值问题。解得： 2 01,3mL(cos,in.mm（6）即为 22'RZ分 离 变 量 2' .RZ得： 220.0.RmR这两个方程，先求解哪一个以及 如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，Methods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU2也就是取决于定解问题的边界条件。如果 构成本征值问题，则()R220,m式中 的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。即为 Euler eq.1)0:220,Rm（7）:2 20.R记： 则：()xRyd(),d ,yxyxRy 代入（7）得即为 m 阶 Bessel eq.220,xyxy令 ，代入 得3)0:k2RR（8）22.记 ，代入（8）得：,()kxRyx即为虚宗量 Bessel eq. （9）220,my令： 代入（9）得,()ixtyt即为 Bessel eq.22,t2. 柱坐标系下的非稳定问题（振动、输运方程） 2(,)(,)0;.tturaurt令 ，代入上式得：(,)(,)uztTVz222;.TVkaMethods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU3分离变量得： 20Tak和 2,V此为 Helmholtz 方程，即： 2210.zkV令 ，代入上式得：(,)()(VzRZz2220. 0.RkmR同样要求对 的符号 加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负源于2k()的本征值问题） 。()Zz二、Bessel 函数 (圆)柱函数 1. Bessel 函数设 则一般地（ 可以不为整数）2,(),kxRyx，02y解 ()J()N()yxABx其中： ，201J()!kkkx，cosJ()Nintegr)inxJ()()lim .nnx 阶（第一类）Bessel 函数;: 阶（第二类）Bessel 函数.N()xJ()N():oriman mxx整 数 ， 和 线 性 无 关 解 ;整 数 ， 和 线 性 无 关 解 ,函 数 。Methods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU4当 是实数时， 和 都是实函数，现在再引入两个复函数。2=xkJ()xN(),第一种 Hankel 函数;(1)Hi,第二种 Hankel 函数,(2)J()xx它们统称为 阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel eq. 的解可以是以上四种函数中任何两个的线性组合。类似于 都是方程 的特解，cos,insin,cosinxxx()0yx其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示。2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质（1）递推公式 1','.xZ 1,.Zx112,.Zx代表 .(1)2J,NH,证明：例如， ，201()!kkkxx 21 1210 0)J' J,! !kk kk kxx 即： 1'.Z同理又有： .1'xZ特例： ,01J'100JJ()xdx.Zx1（2）渐近性质 Methods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU5(A). 很小 时，x(0)201J()!kkkx 20J()1; (0).()x210 22()!N()lnJ()1 1()!2mnmmn mnnmxxCx LL0N(lnl;() (0).2x(1)0()Hln;() (0).2ixxi(2)0()ln;()H (0).2xxi(上述特例积分时用过此).20J()1x0J)1.() ()2 J(0) ()可见 并非 之零点，而是 之 阶零点。0x0JxJ0N()lnl;2N(0) (0).() ()xx.(1)2H0 Methods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU6(B). 很大 时 衰减式震荡函数，证明见教材§13.5x()2J()cos.4xxN()in.(1) 24H.ixxe(2) 24.ix3. Bessel 函数 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数）J()nx（1）生成函数（母函数） 12J() 0).xznnexz特别地，令 ，有izsi().xinne证明： 则：12020,!,2lxzlkxz kkezx112200 012 20 01!1()()!lkxxzzlk klklkl lklk lnn lnkn lneezxxzz 1 1JJ()J()J()().nn nnnxzxzxzxzMethods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU7（1）平面波按柱面波的展开 cos1()201J()J()cos).ikzxtet mkmxtki（2）加法公式 )J(.nknxyxy证明： 又12(),xyz nnez111222JJJ.xyxyzzznl nll nlnl nlexzyzxyz 令 ，则：lnk12JJ.xyz k nnkknknk nexyzxyz 所以 J()J().nknkxyy（3）积分公式由 得sinJ()xinexesinsincos cos11()dd22i sinddd.22xi xnnnixinixinexiiee 其中倒数第二等式的推导用了展开中的 /.（4） 的零点方程 的根J()nxJ()0nx(A). 的零点有无限多个，且 的零点都是一级零点 :()1,23)nxLMethods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU8.2J()cos4xx为 （ ）的 级零点:0xJ()n0n.1J() (0)2xx(B). 的零点必正负成对：这是因为 具有奇（偶）对称性，即J()nxJn，因此可以只讨论正零点。1()n(C). 阶数相差为 1 与 或 时，正零点必两两相间。Jx1()n1J()nx证明思路：设 为 的相邻零点，作辅助函数 ，根据微分,ab J()nyx中值定理, 当 时, 必有 使得 再由递推公式()0y,acb()0.c可以知道， 的零点之间有 的零点。1()'xZJ()nx1Jnx(D). 的最小正零点必大于 的最小正零点。Jn证明思路：已知 为 的 级零点。设 为 的最小正零点，0x1J()nxa1J()nx作辅助函数 由 必有 而取 在 再由1J(),ny 0,ya'()0,ycc,a可知, 必为 的零点。1()'xZcnx注： 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要Jm的零点时，可以当作已知，且记 的正零点即 的根为()x J()mxJ()0mx()1,2).mnL，i.e，导数为零的点 ，均为 之一阶零点。J'0x()01,2)mnx%LJ'()mx（5） 的图像（衰减式震荡函数）()nMethods of Mathematical Physics (2011.06) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaPhys.FDU94. 本征值问题（1）