高中数学总复习直线与圆锥曲线的位置关系

121.直直线线过过点点（2,4）与与抛抛物物线线y2=8x只只有一个公共点，这样的直线共有（有一个公共点，这样的直线共有（）A.1条条B.2条条C.3条条D.4条条 B3因因为为点点(2,4)在在曲曲线线上上，所所以以当当直直线线与与抛抛物物线线相相切切时时只只有有一一条条，而而当当直直线线与与抛抛物物线线的的对对称称轴轴平平行行时时也也有有一一条条，故故共共有有2条，故选条，故选B.易易错错点点：直直线线与与抛抛物物线线相相交交，交交点点的的问问题题应应注注意意到到直直线线的的斜斜率率k不不存存在在，以以及直线平行抛物线对称轴时的两种情况及直线平行抛物线对称轴时的两种情况.42.若若双双曲曲线线 的的两两条条渐渐近近线线恰恰好好是是抛物线抛物线y=ax2+的两条切线，则的两条切线，则a的值为（的值为（）A.B.C.D.易得双曲线的渐近线方程为易得双曲线的渐近线方程为y=x，由对称性可知，直线，由对称性可知，直线y=x与曲线与曲线y=ax2+相相切切，联联立立两两方方程程消消去去y得得ax2-x+=0，由由=，得，得a=，故选，故选B.B53.已已知知双双曲曲线线的的右右焦焦点点为为F，若若过过点点F的的直直线线与与双双曲曲线线的的右右支支有有且且只只有有一一个交点，则此直线斜率的取值范围是（个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A.（1,2）B.（1,2C.D.（2,+）C6可可得得双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为y=x，过过点点F分分别别作作两两条条渐渐近近线线的的平平行行线线l1和和l2，由由图图形形可可知知，符符合合题题意意的的直直线线斜斜率的取值范围为，故选率的取值范围为，故选C.易易错错点点：直直线线与与双双曲曲线线相相交交问问题题，应应结结合合图图形形分分析析直直线线与与渐渐近近线线平平行行、相相切切等极端位置等极端位置.74.过过抛抛物物线线y2=4x的的焦焦点点，且且倾倾斜斜角角为为 的的直直线线交交抛抛物物线线于于P，Q两两点点，O为为坐标原点，则坐标原点，则OPQ的面积是的面积是 .8因为直线方程为因为直线方程为x+y-1=0，即，即x=1-y.代入代入y2=4x，得：，得：y2+4y-4=0，设设P（x1,y1），），Q（x2,y2），），所以所以y1+y2=-4,y1y2=-4，所以所以所以所以故填故填95.已已知知抛抛物物线线y2=2px（p0）的的顶顶点点为为O焦焦点点为为F，点点P为为抛抛物物线线上上一一点点，对对于于POF的的形形状状有有下下列列说说法法：可可能能为为等等腰腰三三角角形形；可可能能为为等等腰腰直直角角三三角角形形；可可能能为为正正三三角角形，其中正确的序号是形，其中正确的序号是.结结合合图图形形当当 时时，不不等等于于，也也不不等等于于，又又因因为为通通径径长长（过过焦焦点点F与与对对称称轴轴垂垂直直的的弦弦长长）为为2p，则则均均不不可能发生可能发生.故填故填.，101.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系有有相相交交、相相切切、相相离离；相相交交有有两两个个交交点点（特特殊殊情情况况除除外外），相相切切只只有有一一个个交交点点，相相离离无无交交点点.判判断断直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系，通通常常是是将将直直线线方方程程与与曲曲线线方方程程联联立立，消消去去变变量量y（或或x）得得变变量量x（或或 y）的的 方方 程程：ax2+bx+c=0（或或ay2+by+c=0）11若若a0，可可考考虑虑一一元元二二次次方方程程的的判判别别式式，有：，有：0直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相交；=0直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相切；0直线与圆锥曲线相离直线与圆锥曲线相离.若若a=0，则则直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线相相交交，且且有有一一个个交交点点.若若曲曲线线为为双双曲曲线线，则则直直线线与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线平平行行；若若曲曲线线为为抛抛物物线线，则则直直线与抛物线的对称轴平行线与抛物线的对称轴平行.122.圆圆锥锥曲曲线线的的弦弦长长问问题题设设直直线线l与与圆圆锥锥曲曲线线C相交于相交于A，B两点，两点，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则弦长则弦长13重点突破：直线与圆锥曲线的位置关系重点突破：直线与圆锥曲线的位置关系 ()已知已知A(-3,4)，B(4,4)，若线段，若线段AB与椭圆没有公共点，求正数与椭圆没有公共点，求正数a的取的取值范围值范围.()若若直直线线y=kx+1与与双双曲曲线线3x2-4y2=12有有两两个不同的交点，求实数个不同的交点，求实数k的取值范围的取值范围.14()利利用用图图形形进进行行分分析析，分分两两种情况解答，即线段种情况解答，即线段AB在椭圆内和椭圆外在椭圆内和椭圆外.()联联立立直直线线与与双双曲曲线线方方程程消消去去y得得到到关关于于x的的二二次次方方程程，在在二二次次项项系系数数不不等等于于零零的的情情况下利用况下利用0求解求解.15()线线段段AB的的方方程程为为y=4(-3x4).当线段当线段AB在椭圆外时，在椭圆外时，a4，解得，解得0a2，综综上上知知正正数数a的的取取值值范围是范围是0a2.；16()由由y=kx+1与与双双曲曲线线3x2-4y2=12联联立立消去消去y得得(3-4k2)x2-8kx-16=0，由由 题题 意意 知知 3-4k20，即即 k ，则则=64k2+64（3-4k2）0，得得k21，即即-1k0.y2)，23又因为又因为BC的长等于点的长等于点(0，m)到直线到直线l的距离的距离即即所以所以=-(m+1)2+11，所以当所以当m=-1时，时，AC边最长，边最长，(这时这时=-12+640)，此时，此时AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x-1.利利用用韦韦达达定定理理、弦弦长长公公式式可可解解答答与与弦弦中中点点有有关关的的问问题题、弦弦长长问问题题及及弦弦所所围围成成的的三三角形面积等高考常见热点问题角形面积等高考常见热点问题.24已已知知抛抛物物线线y2=8x上上一一个个定定点点M(x0,y0)(y00)，过过点点N(x0+4,0)与与MN垂垂直直的的直直线线交抛物线于交抛物线于P，Q两点，若两点，若求求MPQ的面积的面积.据题意得：据题意得：=8x0 所以所以x0=2，y0=4，所以，所以M(2,4)，N(6,0)，所以所以，又因为又因为y00，25因为因为MNPQ,所以所以kPQ=1，则直线则直线PQ方程为：方程为：y=x-6，y=x-6 y2=8x所以所以又点又点M到直线到直线PQ的距离为的距离为所以所以SMPQ=16 4=64.联立联立，得：，得：y2-8y-48=0，26 重点突破：最值与范围问题重点突破：最值与范围问题 设设F1，F2分分别别是是椭椭圆圆 的的左左、右焦点，顶点右焦点，顶点A(0,-1).()若若P是该椭圆上的一个动点，求是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；的最大值和最小值；()是是否否存存在在斜斜率率为为k(k0)的的直直线线l，使使l与与已知椭圆交于不同的两点已知椭圆交于不同的两点M、N，且，且 若若存存在在，求求出出k的的取取值值范范围围；若若不不存存在在，请说明理由请说明理由.27()设设点点P(x,y)，利利用用函函数数的的最值来求解最值来求解.()假假设设存存在在，设设出出直直线线方方程程，与与椭椭圆圆联联立立，由由转转化化为为AP是是线线段段MN的的垂垂直直平平分分线线，利利用用根根与与系系数数的的关关系系可判断可判断.28()由题意知由题意知所以所以F1(-,0)，F2(,0)，设设P(x,y)，则则因因为为x ，故故当当x=0时时，即即点点P为椭圆短轴端点时，为椭圆短轴端点时，有最小值有最小值-1；当当x=时，即点时，即点P为椭圆长轴端点时，为椭圆长轴端点时，有最大值有最大值1.29()设设存存在在满满足足条条件件的的直直线线l，其其方方程程为为y=kx+b(k0)，y=kx+b则则=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=36k2-12b2+设设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得：，得：由由得：得：(3k2+1)x2+6bkx+3b2-3=0，120.30从而从而MN的中点的中点P的坐标为的坐标为因因为为所所以以AP是是线线段段MN的的垂垂直直平分线，所以平分线，所以APMN，于是于是代代入入并并整整理理得得：（3k2+1）（k2-1）0，所以，所以-1k1，故故满满足足条条件件的的直直线线l存存在在，其其斜斜率率k的的范范围围为为-1k0，只只能能x=,于于是是y=，所所以以点点P的坐标是的坐标是(,).=(x-4,y)，由已知可得：，由已知可得：34()易易得得直直线线AP的的方方程程是是x-y+6=0，设设点点M(m,0)，则则M到到直直线线AP的的距距离离是是 ，于是于是=|m-6|，又又-6m6，解得，解得m=2，所以椭圆上的点所以椭圆上的点(x,y)到点到点M的距离的距离d有有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-由于由于-6x6，所以当所以当x=时，时，d取得最小值取得最小值 .35已已知知圆圆O：x2+y2=1，点点O为为坐坐标标原原点点，一一 条条 直直 线线 l：y=kx+b(b0)与与 圆圆 O相相 切切 并并 与与 椭椭 圆圆 交于不同的两点交于不同的两点A，B.()设设b=f(k)，求，求f(k)的表达式；的表达式；()若，求直线若，求直线l的方程；的方程；()若若求求三三角角形形OAB面积的取值范围面积的取值范围.36()由由直直线线与与圆圆相相切切，得得圆圆心心到到直直线的距离等于半径可求得线的距离等于半径可求得.()联联立立直直线线与与椭椭圆圆方方程程，由由根根与与系系数数关关系可求得系可求得.()利利用用弦弦长长公公式式及及求求最最值值的的方方法法可得可得.()因为因为y=kx+b(b0)与圆与圆x2+y2=1相切，相切，则即则即b2=k2+1(k0)，所以，所以37 y=kx+b ，消去消去y得：得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,所以所以=8k20(因为因为k0)，设，设A(x1,y1),B(x2,y2),则则所以所以k2=1，k=1，则，则b2=2，又又b0，所以，所以b=，所以直线所以直线l的方程为的方程为y=x+或或y=-x+.()由由38()由由()知：知：因为因为 所以所以所以所以k21，由弦长公式得：由弦长公式得：设设O到直线到直线AB的距离为的距离为d，则，则d=1，39所以所以解得：解得：本本题题考考查查直直线线与与圆圆，直直线线与与椭椭圆圆的的位位置置关关系系，考考查查椭椭圆圆与与向向量量，不不等等式式等等知知识识的的综合交汇，考查转化与化归思想综合交汇，考查转化与化归思想.401.直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系可可通通过过对对直直线线方方程程与与圆圆锥锥曲曲线线方方程程组组成成的的二二元元二二次方程组的解的情况来讨论次方程组的解的情况来讨论.(1)若若方方程程组组消消元元后后得得到到一一个个一一元元二二次次方程，根据方程，根据来讨论；来讨论；41(2)若若方方程程组组消消元元后后得得到到一一个个一一元元一一次次方方程程，则则相相交交于于一一个个公公共共点点，需需要要注注意意的的是是，直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线只只有有一一个个公公共共点点时时，未未必必一一定定相相切切，还还有有其其他他情情况况，如如抛抛物物线线与与平平行行(或或重重合合)与与其其对对称称轴轴的的直直线线，双双曲曲线线与与平平行行于于其其渐渐近近线线的的直直线线，它它们们都都只只有有一一个个公公共共点点，但不是相切，而是相交；但不是相切，而是相交；42(3)直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系，还还可可以以利利用数形结合，以形助数的方法解决；用数形结合，以形助数的方法解决；(4)若若讨讨论论一一线线段段与与圆圆锥锥曲曲线线或或一一直