数学建模论文-水资源短缺的综合评价--以北京为例

1水资源短缺的综合评价以北京为例摘要：本文通过对北京市 1979-2009 年期间的水资源短缺问题风险因子进行分析并建立相应的数学模型。在该过程中先综合考虑水资源短缺的各种风险因子，以及各风险指标的模糊性和不确定性，就北京市水资源短缺风险这一问题，对水资源短缺风险发生的概率和缺水影响程度给予综合评价，建立一个比较科学的评价模型。首先利用主成分分析法判定水资源短缺风险的主要因子，再构造隶属函数以评价水资源系统的模糊性；其次利用 Logistic 回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率；而后建立了模糊数学模型对水资源短缺风险综合评价模型，以及对风险等级进行划分。期间会应用 SPSS , Matlab 对模型所涉及的数据编程处理，最后分析误差及评价模型的合理性和科学性，并与实际结合预测北京未来的水资源情况。对于问题一，我们首先利用数据统计法确定可能引起北京市水资源短缺风险的因子，并对其风险因子利用主成分分析法，分析出主要的风险因子。通过图表中的数据可知，森林覆盖率，工业用水，农业用水，人口规模等。并且对主要的风险因子采取了相应的对策，使得风险发生的概率降低。对于问题二，首先我们利用隶属度函数法，从缺水量、人均缺水率、经济损失量、损失量四个指标考虑，得出每个指标的综合隶属度，并做出了风险等级的划分。其次我们利用 logistic 回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率，最后利用模糊数学模型对北京市水资源的短缺风险进行综合评价，如图表对于问题三，我们在前面两个问题分析的基础上，综合考虑北京的现状，以及经济突发事件和气候变化，从风险等级和风险概率两方面，对北京未来两年的水资源短缺风险预测,并给出了应对这些问题的相应对策。对于问题四，我们在对前三个问题解决，以及对模型的改进基础上，分析得出水资源短缺的影响因素，并对此因素进行剖析，找到正确的合理的解决措施，给北京市水行政主管部门写了份建议报告，希望对水资源短缺风险问题能真正得到解决，使得现有的水资源能更加合理的利用。关键词：主成分分析法 隶属度函数 水资源短缺风险评价模型 Logistic 回归模型 模糊数学模型2一、问题的重述：北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的 1/8，世界人均的 1/30，属重度缺水地区。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设 , 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。北京 2009 统计年鉴及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。2 建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。二、问题的分析:对于水资源短缺问题，考虑多年影响水资源的各种因素，即各种风险因子。分析得出主要的风险因子，排除其他次要因子的干扰，得出一套最优的决策方案。进而做出对引起北京水资源短缺风险的决策。对于问题一，我们先找出影响水资源的各种因子，并且对各种因子进行归类，可大体分为：自然因素和社会经济环境因素。在这两类中确定出主要的风险因子；对于问题二，我们先分两步：首先对主要的风险因子进行等级划分，并且找出可消除风险的因子。其次对不能消除的风险因子进行调控，并且给出相应的措施使风险率降到最低；对于问题三，我们在解决前两个问题的基础上，综合考虑水资源短缺问题的模糊性和不确定性，对 2012 和 2013 年的水资源的短缺风险进行预测，并且结合北京的经济情况和气候条件，以及水利工程设施，提出合理的应对措施。最后结合我们所建立的模型，以及对北京市的水资源的综合考虑和我们自己的观点，给北京市水行政主管部门写份建议报告。三、基本假设:1假设影响水资源的自然因素在水平年中是不变的。2假设每年当中的各个季度的社会经济是相对稳定的，不考虑一些突发的经济状况。3假设在进行风险等级划分时，忽略个别数字的影响，并且确定的各指标都能反映缺水地区的缺水风险，以及缺水风险的程度和水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力。4假设在未来的两年北京的气候条件和经济状况基本保持不变。3四、模型定义：4.1 主成分分析法：主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的 p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。4.2 Logistic 数学回归模型：logistic 回归模型主要是用来对多因素影响的事件进行概率预测，它是普通多元线性回归模型的进一步扩展，是非线性模型。比如说我们曾经做过的土地利用评价，就分别用多元线性回归模型和 Logistic 模型进行试验。影响耕地的因素假设有高程、土壤类型、当地人口数量和 GDP 总量，把上述四种因素作为自变量，某块地是否为耕地的概率为 P，即应变量。然后根据已经有的样本数据，求出 logistic 模型的系数，一般用最大似然法结合牛顿拉斐逊法解系数，求出 F(P)=G(高程，土壤，人口， GDP）的一个回归函数，即 Logistic 模型，然后把全地区的数据代入上式，求出每个地方是否为耕地的概率，用来对土地利用的评价提供科学的依据。4.3 若对论域（研究的范围）U 中的任一元素 x，都有一个数 A（x）0，1与之对应，则称 A 为 U 上的模糊集，A（x ）称为 x 对 A 的隶属度。当 x 在U 中变动时，A（ x）就是一个函数，称为 A 的隶属函数。隶属度 A（x）越接近于 1，表示 x 属于 A 的程度越高，A（x）越接近于 0 表示 x 属于 A 的程度越低。用取值于区间 0，1 的隶属函数 A（x）表征 x 属于 A 的程度高低。隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。五、模型的建立和求解：5.1 对于问题一5.11 当影响水资源的自然因素在水平年中不变时，依据北京市 19792009年的可利用水资源量、地下水、地表水、工业用水、农业用水、第三产业及其他用水、污水排放总量、人口密度等基础资料来对北京水资源短缺风险综合考虑。北京位于华北平原西部，属暖温带半干旱半湿润性季风气候，由于受季风影响，雨量年际季节分配极不均匀，夏季降水量约占全年的 70以上，全市多年平均降水量 575mm。属海河流域，从东到西分布有蓟运河、潮自河、北运河、永定河、大清河五大水。 （如图 1 所示）4图 1首先分析历年来北京水资源的来源，来确定北京水资源的供应量，其具体的变化趋势如图 2北 京 市 水 资 源 的 来 源0.05.010.015.020.025.030.035.040.02000 2002 2004 2006 2008 2010年 份水资源量（亿m3)地 下 水 资 源 量 （ 亿 立方 米 ）地 表 水 资 源 量 （ 亿 立方 米 ） 全 年 水 资 源 总 量图 2从上图可知，北京市的水资源主要来源于地下水，地表水，从 2000 年到2010 年全年水资源总量呈现上升趋势。说明，北京市未来水资源总量一定范围将持续增加。再对北京市的水资源用途进行分析，找出主要的用水途径，通过对供水量与需水量的比较，来找出北京水资源的供需关系，历年用水变化趋势如下：5历 年 用 水 变 化01020304050601970 1980 1990 2000 2010 2020年 份用水量（亿m3）工 业 用 水农 业 用 水第 三 产 业 及 生 活 等 其 他 用水用 水 总 量图 3从上图可知，1978 年-2010 年工业用水，农业用水呈现下降趋势，而第三产业及生活等其他用水量逐年略有增加。说明，北京市对农业工业结构进行调整，加大对第三产业的投资，北京的用水总量在未来将减少。最后对水资源的出入量及水库储水量进行分析，其变化趋势如图 4 水 资 源 动 态 变 化02468101214162002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010年 份水量亿(m3) 入 境 水 量 亿 m3出 境 水 量 亿 m3水 库 储 水 量 亿 m3图 4由上图可知：20012007 年水库储水量处于相对稳定的水平，没有大幅度的升降，但 2007 年之后水库的储水量急减，当因季节、年份变化和突发事件时，导致水资源的短缺，将不能得到缓解，因此水库储水量成为水资源短缺的风险之一。20012009 年的出入境水量基本稳定，没有较大的跌落，但总体上出境水资源量大于入境水资源量。5.12 北京市水资源短缺风险影响因子分析 北京市水资源开发利用中存在的问题主要有：(1)上游来水衰减趋势十分明显；(2)长期超采地下水导致地下水位下降；(3)水污染加重了水危机；(4)人口膨胀和城市化发展加大了生活用水需求等。因此导致北京水资源短缺的主要原6因有资源型缺水和水质型缺水等。影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两点(1)自然因素：人口密度；降雨量；水资源总量；地下水资源量；地表水资源量；植被覆盖率。(2)社会经济环境因素：污水排放总量；污水处理率；第三产业及生活其它用水；生活用水量；农业用水量；工业总产值占有率；用水总量。5.13 模型求解：对于水资源短缺风险的主要风险因子，有多种算法，比如支持向量回归法，层次分析法等算法，这些方法的特点是从随机模型或模糊模型的角度分析，从单一的指标来考虑，而未综合考虑到影响水资源短缺风险的复杂性。而我们采用主成分分析法，从自然因素和社会经济对影响水资源短缺风险因子归类。主成分分析法的求解过程如下：1、原始指标数据的标准化采集 p 维随机向量 x = (x1,X2,.,Xp)T)n 个样品 xi = (xi1,xi2,.,xip)T ，i=1,2,n， np，构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换： 其中 ，得标准化阵 Z。2、对标准化阵 Z 求相关系数矩阵 其中, 。3、解样本相关矩阵 R 的特征方程 得 p 个特征根,确定主成分 ，按 确定 m 值，使信息的利用率达 85%以上，对每个 j, j=1,2,.,m, 解方程组 Rb = jb 得单位特征向量 。4、将标准化后的指标变量转换为主成分 U1 称为第一主成分,U2 称为第二主成分,Up 称为第 p 主成分。75 、对 m 个主成分进行综合评价 对 m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。 （详细的求解过程见附表 1。 ）将上述影响水资源的 13 个因子的历年数据，导入 Spss 程序中提取出 3 个成分，如下表 1 所示成份矩阵成份1 2 3降水量 .720 .270 -.358森林覆盖率 .921 -.263 .145地下水资源量 .847 .265 -.060地表水资源量 .718 .553 -.411污水处理率 .9