高三数学迎一模检测
2015年高四综合检测题(一)数学(理)2015.12.23一、选择题:本大题共10小题;每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上。1、己知集合 M =xl|x-l|<l,集合 N = xx2-2x<3,则 M0CrN = ()A. |xl 0 < x < 2 B. xl -1 < x < 2 C. 兀丨一1 vx <2 或xSx <3 D. 0 2、若函数.mr ;+2):二则门2)的值为(A. 2 B. 3 C. 4 D. 5TTTT3、将函数y = sin(2x-y)的图象向右平移正个单位,然后纵坐标不变横坐标仲长为原来的2倍,得到解析式为()A.B. y = cosxC. y = -cosxD. y = -sinx4、如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥,则这个几何体的侧视图是(A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无两边相等的三角形5、已知AABC的重心为G,角A9B9C所对的边分别为a,b,c2aGA + y3bGB + ?>cGC = Q ,则sin A:sinB:sinC=()A. 1:1:1 B. V3:l:2 C. V3:2:l D. 3: 23 : 26 已知函数 f (x) = ax2,g (x) = logfl x (其中 a >0 JIL a Hl),若.f(4)g(-4)<0 ,则 f (a), g (x)在同一坐标系内的大致图象是()7、若点P是函数y = ex 一小一 3x(- y < x < y)图彖上任一点,在P处的倾斜角为a> 5ttB、3兀C、兀TT4则Q的最小值为()D、71A 228、设凡月是椭圆话+討1的两个焦点,P是椭圆上的点,川阳:处|=4 : 3,则4/7诙的面积等于(A.B. 6C. 229.已知向最人8与屆的夹角为60°,B.AB =3, ACT> TT>=2,若 4P = /L4B+AC,且 AP 丄 BC,则实数兄的值为()A.丄 B.丄 C. D.2 6 12 1210. 已知椭圆c:砒力''的离心率为右,双曲线-7=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为()22 222222A、1 B、1 C、1 D、182126164205二、填空题。本大题共有5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在答题卡的相应位置。11、已知函数/(x) = Acos2(wx + 0) + 1(AO,w>O,Ov0<Z)的最大值为3, /(兀)的图象与y 2轴交点坐标为(0,2),其相邻的两条对称轴的距离为2,则/(1) + /(2) + - + /(2015)=.3x-y-6 <012、设兀y满足约束条nx-y + 2>0 ,若目标函数z = ax + by(a>0,b>0)的最人值为10,x > 0, y > 023则一+二的最小值为a b13、已知过点A(l,0)且斜率为k的直线/与阴【C:(兀3) + (y 2尸=1相交于P,Q两点则AP AQ的值为兀(0,1兀(1,214. 曲线);=x2和曲线/=%围成的图形的面积是X X15、定义在R上的函数/(兀)满足/(x + 2)= 2/(x),当兀w(0,2时,/(兀)=<-log2x若x g (-4,-2时,f (x) < 冇解,则实数/的取值范围是三、解答题。本大题共6个小题,共74分,解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤。16、已知函数于(兀)sin(-+ x) - >/3 cos x sin2x2 cos(龙一兀)(1) 求函数/(x)的最小正周期及单调递减区间;TT(2) 当xg(0,-)时,求/(兀)的最人值,并求此时对应的兀的值。217. 已知各项都不相等的等差数列切的前6项和为60,且逐为和血的等比中项.(1) 求数列&的通项公式;(2) 若数列加满足 彌L方尸禺(用N*),且A=3,求数列*的前刀项和On18、在四棱锥P - ABCD中,AB/CD.AB 丄二 2, AD 二血,CD = l.PA 丄平面 ABCD,PA 二 2.(I) 设平面PABc平面PCD = m ,求证:CD/m;逅(II) 设点Q为线段PB上一点,R直线QC与平面PAC所成角的正切值为一2 求丝的值.PB19、在平而宜角坐标系x血中,已知圆/+/-12%+32=0的圆心为0,过点A0, 2)K斜率为A的 直线与圆0相交于不同的两点儿B.(1) 求斤的取值范围;(2) 是否存在常数乩使得向量OA + OBij殛共线?如果存在,求&值;如果不存在,请说明理由20s (本小题满分14分)y2 ,21已知椭圆C: + = 1(6/>&>0)的离心率e = ,点A为椭圆上一点,ZF/F60S ab2-几 Saf/e =巧 °(1)求椭圆C的方程;(2)设动肓线l:y = kx-m与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x = 4相交于点0,问:在兀轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在,求出点M的坐标;若不 存在,说明理由。21.(本小题 14 分)已知函数 f(x) = ax3+x2 -ax(a,xe R).(1)当0 = 1吋,求函数.f(Q的极值;(2)若/(兀)在区间0,+00)上单调递增,试求d的収值或収值范围;11Q(3)设函数(x) = /'(兀)+ (2a )x d + 1, x g (1,/?, (b1),如果存.在6/ e (-oo,-l,对任意兀丘(一1,列都有h(x)>0成立,试求b的最.大值.2015年高四综合检测题(一)2015. 12. 23答案与提示1-5: D B C A D6-10: A B C B DIL 403012. 513. 714. -15. -2,0)11(1,+00)2cosx=sin2 x +V3sinxcosx 25(2“彳)16. M: (1) /W=(sinx + V3cosx)2sinxcosx1 - cos 2x 命小 1=+ sin 2x 2 2 27T周期 T =兀、因为 cosxhO,所以xx + k,k eZ,、” r 冗 r/T 3/rn亠1 2xG F 2£TT,F 2ktt,62 2rr5/rTC即 3+ X+ k7l,x + k7T,k G Z 时函数/(x)单调递减;y?yzyz, y?所以于(兀)的单调递减区间为一 +炽,一 +炽),(一 + R九+炽北wZ.3226x I./小 TC、7C7T 5/、(2 ) 当 兀 W (0, ) , 2xG (,),2 66 6兀、兀TTsin(2;r-一)e(-一,1,当兀二一时取最大值,故当x =-时,函数/(兀)的最大值为1.-12分 6233d=2,17【解】设等差数列&的公差为(狞0),解得日 1 = 5,.61+15(7=60,ax &+20d = $i + 5d爲 “=2刀+3.(2)由 b bti=a,n ./?一人-1 = /-1 (“22,bn (bn bn-) + (bn-L U HF (&Z?l) + 方1 =日“一 1 +/-2<31 + Z?1=(刀1) (/?1+4)+3 = /?(刀+2).又 5 = 3 适合.:.b=n(n+2) gN*).1_1(1_L)3z?2+5/7* * bfl n n+2.刀+2,7;=2(1 _ 3 + 2 _ 4 + * * * +_+2) =2(2_+1_7+2) =4 n+1n+2 '(18)解:(I )证明:V ABIICD.CDZ 平 ifliPA 乩 ABu 平面 P4B,因为CD U平面PCD,平面PABc平面PCD二m/. CDllm4分.CD/平面 PCD.(II)设 = A,因为 AB 丄 AD,PD 丄平ABCD ,PB所以建立如图所示的空间宜角坐标系设Q (上y,刃,直线0与平而网厂所成角为0.所以西=几两即Q (2 2,0, -2 2 +2)6分9所以 C2 = (2/l-l,-V2-2/1 + 2)7 分乔二(0,0,2),Xc = (l,C,0)平面 PAC 的一个法B co<0 二"CQ 二巧向量ln = (72,-l,0)V tan = TR-R I9解得2 = l2 eQ41-ll分 所以越 二n 12分PB19.解:(1)圆的方程可化为U-6)2+y=4,其圆心为0(6,0)过点P(0, 2)且斜率为&的直线方程为尸kx+2.代入圆的方程得/+Ox+2)212x+32 = 0,整理得(1+用)#+4(£3)/+36=0直线与圆交于两个不同的点仏B,所以J = 4a-3)2-4X36(l+A?)=42(-8A2-6A)>0,解得一丫从0,即A的取值范围为(一孑0).设力(石,yi), Bg 乃),贝(J OA + OB = (xi+a2, y+y2).4£3由方程,得丫+卫=_+#, 又乃=&(石+动+4.而 P(0, 2), 0(6,0),苑=(6, -2),所以OA+ 而与 殛共线等价于(必+卫)=一35+乃) 将代入上式,解得A=-|由知圧(一扌,0),故没有符合题意的常数上20. 解:(1)由0 =丄可得,a2 =4c2,2S中AF二丄I AF, II Anisin 60° =V3可得,AFX AF21=4, 2分在AF/尺中由余弦定理有,1 2 2 I耳AF+I爲A卩_2|纬4|妨A|cos60°=4?,又|人耳丨+ 1 A笃1=2°,可得a2-c2 =3®,4分? 2联立晚得,宀4,宀匕,宀3所以椭圆方程为才+专儿6分y = kx + m(2)设点 P(x0, y0),由 v 兀22,得(42 + 3)x2 + Skmx + 4m2 -12 = 0, 8 分+ = 1143A = 64k2m2 -4(4A:2 + 3)(4m2 -12) = 0 ,化简得4k2-m2+3 = 0f 所以4km _ 4k_ 34k2 +3m in10分4k 3 i y = kx + fn所以P(,一)由,得Q(4,4R+加),假设存在点M,处标为(旺,0),m m x = 4 4k 3.则MP = (xp), MQ = (4-xl,4k + m)f 12分m m1 厭 4j>r因为以P0为直径的圆恒过点M,所以MP MQ=0,即+ -4旺+彳+一 + 3 = 0