12构造直角三角形妙解三角形试题
中国高考数学母题一千题(第 0001 号)愿与您共建真实的中国高考数学母题( 杨培明:13965261699)构造直角三角形.妙解三角形试题解三角形问题的创新解法在解三角形时,若能根据题中几何图形的特点,恰当地构造直角三角形,就可以充分利用直角三角形的性质,收到化难为易、事半功倍、出奇制胜的效果,达到妙解三角形的目的.母题结构:(直角三角形的判定)如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2,则此三角形直角三角形;一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形;如果一条边是另边的一半,且较小边所对的角等于 300,或较大边所对的角等于 600,则此此三角形直角三角形.解题程序:利用直角三角形性质解决问题的关键是挖掘图中的直角三角形或构造直角三角形,其中,利用直角三角形的判定是挖掘图中直角三角形的常用方法,而作三角形的高是构造直角三角形的常用方法.1.挖掘图中直角三角形子题类型:(2012 年安徽高考试题)设ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,且有 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.()求角 A 的大小; ()若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.解析:() 由 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC 2sinBcosA=sin(A+C)(sinB0) cosA= ,又由 A(0,) A= ;213()取 AC 的中点 E,则 CE= b=1,DE= c= ,DEAB CED= DEBC BD=CD= ,ABBC AD= = .2121332BDA7点评:利用直角三角形的判定,挖掘 题图中直角三角形,并运用直角三角形的性质是巧解三角形的有力方法.2.作高构造直角三角形子题类型:(2015 年安徽高考试题)在ABC 中,A= ,AB=6,AC=3 ,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长.432解析:如图 ,作 DEAB 于 E,CFAB 于 F,则 DECF,由 AB=6,AD=BDE 是 AB 的中点 AE=BE=3;又由A= ,AC=3 AF=CF=3;由 DECF432DE:CF=BE:BF DE=1;在 RtADE 中,AD= = .DEA10点评:作三角形的高是构造直角三角形解决问题的基本思想方法;三角形的一条高把三角形分割为两个直角三角形,充分利用这两个直角三角形的性质和关系可给出问题的创新解法.3.利用三角函数的几何意义子题类型:(2008 年全国高考试题)设ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acosB=3,bsinA=4.()求边长 a; ()若ABC 的面积 S=10,求ABC 的周长 l.解析:如图 ,作 CDAB 于 D,则 BD=acosB=3,CD=bsinA=4;() 在 RtBCD 中,a=BC=5;()由 S= AB CD=2AB=10 AB=5 AD=2 AC=2 周长 l=5+5+2 =10+2 .2155点评:本 题的解法 为作者给出,优 于“标准答案”给出的几种解法;它揭示了 问题的本质和命题手法,同时也告诉我们:在解三角形问题时,可以根据已知条件中三角函数的几何意义作直角三角形巧解问题. 4.子题系列:1.(2013 年课标高考试题)如图,在ABC 中,ABC=90 0,AB= ,BC=1,P 为ABC 内一点,BPC=90 0.3()若 PB= ,求 PA; ()若APB=150 0,求 tanPBA.212.(2013 年课标高考试题)ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC.()求 ; ()若BAC=60 0,求B.CBsin3.(2005 年湖北高考试题)在ABC 中,己知 tanB= ,cosC= ,AC=3 ,求ABC 的面积.3164.(2015 年陕西高考试题)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,向量 m=(a, b)与 n=(cosA,sinB)平行.3()求 A; ()若 a= ,b=2,求ABC 的面积.75.(2014 年山东高考试题)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 a=3,cosA= ,B=A+ .362()求 b 的值; ()求ABC 的面积.6.(2012 年课标高考试题)已知 a、b、c 分别为ABC 三个内角 A、B 、C 的对边,acosC+ asinC-b-c=0.()求 A; ()若 a=2,ABC 的面积为 ,求 b、c.35.子题详解:1.解:()在PBC 中,BC=1,BPC=90 0,PB= PBC=60 0 PBA=30 0 PA= ;2127()设PBA=,则PBC=90 0-,在 RtBCP 中,由 PB=BCcos(900-)=sin;在PBA 中,由 =PABsinsi= 4sin= cos tanPBA=tan= .)150sin(015sin33432.解:()由 AD 平分BAC,设BAD=CAD=; 在ABD 中, = = ,在ACD 中, = =2BADsinisin2CCDsiniBsin= ;CADsinBsi21()由()知,AB=2AC,BAC=60 0 B=30 0.3.解:作 ADBC 于 D,则 CD=AC cosC= ,AD=4 ;由 tanB= BD=4 ABC 的面积=6 +8 .633234.解:()由 mn a: b=cosA:sinB sinA: sinB=cosA:sinB tanA= A=600;3 3()作 CDAB 于 D,由 b=2 AD=1,CD= ;又由 a= BD=2 ABC 的面积= AB CD= .7215.解:如图,作 CDAB 于 D,则 sinCBD=sin-(A+ )=cosA= ,BC=a=3 CD= ;2366()由 cosA= sinA= AC= =3 ;363ACDsin()由 AD=AC cosA=2 AB=AD-BF= ABC 的面积= AB CD= . 321236.解:()作 BDAC 于 D,则 acosC+ccosA=b asinC-c=ccosA sinAsinC-sinC=sinCcosA A= ;3()由 A= AD= c,BD= c;又由 a=2 CD= SABC = ( c+ ) c= c=2 b=2.3213243c21243c
