浅谈数形结合应用(共享)

浅谈数形结合应用深化解题思想方法泸定县第二中学校：李伦均摘 要：数学的思想方法，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，也是 数学科学的有机组成部分。由于数形结合法具有转化抽象与直观的作用，这一思 想方法对分析解决某些问题往往有很大的帮助。但是学生容易忽略它的一些特 点，从而产生错误或使问题复杂化。注重数形结合原则在中学数学教学中的应用， 加强学生数形结合思想方法的培养，使学生更加系统地掌握和理解数学知识体 系、结构体系，增强其应用数学的意识和能力，提高学生数学素质和自身素质， 把数学思想方法的教学提高到一个更高、更重要的层次，不断深化数学科解题思 想方法。关键词：数形结合；思想方法；教学；能力思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，方法是人们 认识世界和改造世界所进行的活动方式、手段的统称，任何一门学科在其发展过 程中逐步形成一套研究问题的思想和方法，数学这门学科也不例外。就中学数学 的思想而言，主要有方程思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化 思想、数学模型思想、优化思想、集合与对应思想、概率与统计思想、归纳猜想 思想等。纵观近儿年来的高考数学试题，其特点是：无论是基础题还是考查能力 的综合题，都渗透了数学思想方法的考查，简单的知识型、记忆型试题在试卷中 H益减少，并加重了对数学思想方法与思维能力的考查。而在数学思想上乂着重 于对函数与方程思想、数形结合思想、归纳与转化的思想和分类讨论思想的考查。 为了更好的把数形结合应用于教学中以适应高考对数学思想的考查，就必须从学 科整体含义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化技巧，有效地检测学生对中 学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。1数形结合的概念、产生与发展所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其 代数意义，乂揭示其儿何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。换言之, 就解决数学问题而言，借助图形性质来研究数量关系，或借助数量关系来研究图 形性质，即“数”与“形”相互转化的解决数学问题的方法叫数形结合法。它是 解析法、三角法、复数法、图解法等方法的概括，其思维策略是把数和形这两个 数学研究的基本对象联系起来作综合考察，充分发挥代数和儿何等学科各自的理 论优势，达到问题解决。深华其基本精神，就形成了数形结合的思想方法。其实，早在毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos,约公元前580-前500年） 时代，数形结合的思想就萌芽了，人们在度量长度、面积、体积的过程中，就把 数和形联系起来了。毕达哥拉斯学派对数与形的关系冇特殊的理解：把单位1想 象为一个点，由点的各种不同排列可以组合成各种图形，而各种不同的图形与相 应的数对应。正是通过图形与数字的联系思考，毕达哥拉斯学派形成了 “万物皆 数”的世界观（后因不可公度量（不能表示为整数或整数之比的量）的发现而动 摇）。我国古代数学家十分注重数形结合，公元3世纪魏晋著名数学家刘徽在九 章算术注原序中说：“又所析理以辞，解体用图，庶几约而能周，通而不黒卖， 览之者思过半矣。”到宋元时期（公元960-1368年），中国古典数学发展到了顶 峰，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式或描述某些几何特征，图形 中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿, 通过坐标系建立了数与形的联系，创立了解析几何学，开辟了数形结合的新纪元, 从而使数形结合思想发生了质的飞跃。此后，利用数形结合加深了对某些数学问 题的理解，借助代数方法把古希腊时代著名的几何尺规作图三大难题（三等分角、 化圆为方、倍立方体）圆满解决。由于数和形的内在联系，许多代数学和数学分析的课题具冇鲜明的直观性， 而且往往由于借用了几何术语或运用了与几何的类比，进而开拓了新的发展方 向。例如，线性代数正是使用了几何学中的空间、线性等概念与类比方法，把自 己充实起来，从而获得了迅猛的发展。2数与形相结合的意义和实质数形结合在数学教学与数学发展中的具冇重要意义。著名数学家华罗庚教授 关于数形结合的问题冇一段精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边 飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。”此外，法国数学家拉格朗R （Lagrange）也认为：“只要代数同几何分道扬 熊，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时， 它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”数与形是数学中两个最基本的概念，是数学的两块基石。可以说全部内容和 方法都是围绕这两个基本的概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学科学的发 展进程中，数与形常常结合在一-起，内容上互相联系，方法上互相渗透，在一定 的条件下相互转化。数形结合，作为一种重要的数学思想，其实质是在分析问题的过程，注意把 数和形结合起來考察，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化为数量关系的 问题，或者把数量关系问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问 题具体化，化难为易，获取简便易行的成功方案。3充分利用数与形相结合原则进行教学及作用在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一-起的，一个为手段（方法），另 一个则为目的。这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解，发展智力、培养能 力的需要。在中学数学中，数形结合思想含两方面的内容：一是运用几何知识，通过对 图形性质的研究，去解决数量关系的问题，常用图表法、图解法等；二是运用代 数、三角知识，通过数量关系的讨论，去处理几何图形的问题，常用解析法、三 角法、复数法、向量法等。从表面上看来，中学数学内容可分为代数与几何两大部分，代数是研究数与 数量的学科，而几何是研究形与空间形式的学科，解析几何则是把数与形结合起 来研究的学科。实际上，在中学数学各科数学中渗透了数与形相结合的内容。例 如，实数与数轴上的点一一对应；复数与处标平面的点一一对应；函数与图形的 相互表示；二元一次方程表示坐标平面上的一条直线(Ax+By+C二0 ,A,B不同吋 为0)；二元二次方程表示二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)。有目的，有计划地进行数学思想方法的教学，是实现21世纪数学教育现代 化的需要，是数学教学的本质体现，是提高数学索质和数学质量的有效途径，是 数学知识转化为数学能力的转折点。以数形结合原则进行教学，这就要求我们切实掌握数学结合的思想与方法， 以数形结合的观点钻研教材，理解数学中的冇关概念、公式与法则，掌握数形相 结合进行分析问题与解决问题的方法，从而提高运算能力、逻辑思维能力和空间 想象能力。在数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，用“数形结合”的技巧 去训练学生解题，能够促进学生学习数学的兴趣；让学生感受理解知识产生和发 展的过程，获取新知识；提高学生能力，如冇助于学生对数学知识的记忆，训练 学生数学直觉思维能力，培养学生的发散思维能力，培养学生的科学精神和创造 性思维能力、习惯等；培养学生的良好情操，如树立现代思维意识，树立辩证唯 物主义世界观等。4数形结合在解决不含参数实际问题中的应用数形结合作为一种数学思想，其应用主要分为：(1) “以数表形”，借助所给图形，仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数 量关系，反映出事物本质特征；(2) “以形验数”，根据题意正确绘制相应的图形，使图形能充分反映岀它 们相应的数量关系，数形结合在一起思考，化难为易解决问题；(3) “数形互换”，“数”和“形”既是对立的，有时统一的，可以互相转化, 化抽象为直观，化难为易，揭示图形中蕴含的数量关系4.1数形结合在集合中的简单应用图1例1(99年高考)如果U是全集，集合M、P、S是U则阴影部分所表示的集合是() |刘焕芬.巧用数形结合思想解题J数学通报,2005,44 (1) :42-(A) (MAP) n S(B) (MAP) U S(C) (MAP) A (CUS)(D) (MAP) U (CUS)解析木题源于课木，是用图示法表示集合的样板试题，由(图1)可知阴影部分表示的集合是MDP的子集且是集合S的补集的子集。故选择答案：C.4. 2借助数轴进行简单的数形结合例2已知h>0,命题甲：两个实数a ,/?满足0-创<2/2；命题乙：两个实 数 a , b 满足 a -l<hb-i<h ,那么()A甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件；B甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件；C甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；D甲是乙的充要条件。分析观察数轴(如图2), 间，°-1和/?-1也分 别是一个点，它们都 在-力和力这两个点_Z间，a-b是一个点，它在-2h与2h这两个点之-2h<a-b<2h(rP)-h<a-l <h?-h<b-1 <h（乙）-2h -h0h 2h因为乙是甲的真子集,所以若两实数a, b满足乙则必满足甲，但若满足甲则未必满足乙。故甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件。故选择答案B.说明实数与数轴上的点一一对应的，所以在数轴上，对于数与点可以不加 区分，数就是点，点就是数。类推，平面上也行，点(兀y)对应平面上的实数对。 4.3利用数形结合研究方程(组)方程类的问题，多数是纯代数问题，很难想象能与图形建立联系.但只要仔 细挖掘其隐含条件，就能找到一定的突破口。例3方程lgx = sinx的实根的个数是().A1个B2个C3个D4个解析用代数的方法求解此超越方程是 很困难的，因此考虑用数形结合法：方 程lgx = sinx的解，实质是函数y = lgx与 y = sinx图彖的交点的横坐标，所以这两个函数的图彖的交点的个数即是方程解的个数.在同一坐标系中作出y = lg兀与 y = sinx的图象(如图3),不难看出图彖有3个交点，故方程lgx = sinx有三解. 4.4数形结合解决不等式(组)问题不等式(组)是小学数学教学小的重点Z-,在解决不等式问题时也往往遇到许多困难，利用常规的解决方式不容易得到结果，而转换思维利用数形结合方 法把“数”与“图形”或“图象”联系起来时，问题常常迎刃而解。例4不等式亦轲尤+ 1的解集是（）A -2.5 ,2B （-1,2）C 0,2D （-®2）分析若用无理不等式的通用解法，此题易考虑不周，从而丢失某一组有理不等式组或丢失某一有理不等式,而画出 函数）=丁2兀+ 52 =兀+ 1的图象如（图4）, 仅分析选择支的区间形态，便可知选（A）.例5如（图5）中阴影部分的点 满足不等式组x + y <5 < 2x + y<6 ,在这些点中，使目标函数x > 0, y > 0K = 6x + 8y取得最大值的点的坐标是（）.解析 此不等式组问题是线性规划问题， 运用数形结合的思想方法，如图5所示，作 6兀+ 8y = 0的直线然后向（上）平行移 动，求使/与阴影部分相交且到原点距离最大的交点，得（0, 5） 4.5利用数形结合处理函数值域问题函数图象与函数解析式是最紧密的数形结合，特别对于较易得到草图的函数 参加的代数问题,利用其图象往往可一蹴而就地求解函数的值域或者其它问题。例6求函数），=兀+ 2 - 71-x2的单调区间和值域.在xe是减函数,丫1是增函数,因此求得值域为(11)、B (3线的对称轴为:(6,6.5), ffineTV*4.6数形结合与最值问题对于最值问题，在整个中学乃至大学都比较频繁地出现在各种试题、竞赛中, 其中有些问题利用常规的方法去解答时，将会冇一定的困难，而当我们利用数形 结合來处理时，问