2004年考研数学（二）试题及解析

2004年考研数学（二）试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)(1)二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,把所有选项前的字母填在题后的括号内.)2004年考研数学（二）试题解析一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.【详解】显然当时,; 当时, ,所以 ,因为 故 为的间断点. （2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.【详解】 , ,令 .又 单调增, 在 时, 。(时，时，曲线凸.)（3）.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】 .【详解2】 .（4）设函数由方程确定, 则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数. , ,从而 , 所以 【详解2】令 则 , , , ,从而 【详解3】利用全微分公式,得 即 , 从而 （5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 ,先求齐次方程 的通解: 积分得 设为非齐次方程的通解,代入方程得 从而 , 积分得 ,于是非齐次方程的通解为 ,故所求通解为 .【详解2】原方程变形为 ,由一阶线性方程通解公式得 ,从而所求的解为 .（6）设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 , , , .【详解2】由,得 二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （B）（C） （D） 【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】 ,即 .又 ,即 .从而按要求排列的顺序为, 故选（B）.（8）设, 则（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符号.【详解】 , , ,从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.又, 时, , 从而为极小值点.所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选（C）.（9）等于（A）. （B）.（C）. （D） 【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】 故选（B）.（10）设函数连续, 且, 则存在, 使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有. 【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知 ,由极限的性质, , 使时, 有 即时, ， 时, ,故选（C）.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程 的特征方程为 ,特征根为 ,对 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为 对 , 因为特征根, 从而其特解形式可设为 从而 的特解形式可设为 （12）设函数连续, 区域, 则等于（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下, 故应排除（A）、（B）.在极坐标系下, , ,故应选（D）.（13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足的可逆矩阵为（A）. （B）. （C）. （D）. 【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 , , ,从而 ,故选（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. 【分析】将写成行矩阵, 可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵, 可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设 , 记 （1）由于, 所以至少有一 (),从而由（1）知, ,于是 线性相关.又记 , 则 由于,则至少存在一 (),使 ,从而 线性相关,故应选（A）.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】 原式 【详解2】 原式 （16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】()当,即时, .()由题设知 . .令, 得.即当时, 在处可导.（17）（本题满分11分）设,()证明是以为周期的周期函数;()求的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】 () ,设, 则有 ,故是以为周期的周期函数.()因为在上连续且周期为, 故只需在上讨论其值域. 因为 ,令, 得, , 且 , ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值;()计算极限.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】 () , , .(), （19）（本题满分12分）设, 证明.【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设, 则 ,所以当时, , 故单调减小, 从而当时, ,即当时, 单调增加.因此, 当时, , 即 故 .【详证2】设, 则 ,时, , 从而当时, ,时, 单调增加.时, 。令有即 . 【详证3】证 对函数在上应用拉格朗日定理, 得 , .设, 则,当时, , 所以单调减小,从而, 即 ,故 （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 表示千克,表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的